Định lý Blaschke–Lebesgue

Một tam giác Reuleaux, một đường cong có chiều rộng không đổi với diện tích nhỏ nhất trong số những tập lồi có cùng chiều rộng.

Trong hình học phẳng, định lý Blaschke–Lebesgue hay bất đẳng thức Blaschke–Lebesgue phát biểu rằng tam giác Reuleaux có diện tích nhỏ nhất trong số tất cả các đường cong có chiều rộng không đổi cho trước.^[1][2] Wilhelm Blaschke và Henri Lebesgue đã chứng minh định lý này một cách độc lập đầu thế kỷ 20.

Lịch sử

Định lý Blaschke–Lebesgue được phát biểu và chứng minh một cách độc lập bởi Henri Lebesgue năm 1914^[3] và Wilhelm Blaschke năm 1915.^[4] Kể từ đó, đã có một số chứng minh khác được đưa ra.^{[5][6][7][8][9][10]}

Phát biểu

Chiều rộng của một tập lồi K trong mặt phẳng Euclid được định nghĩa bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa hai đường thẳng song song bao chứa nó. Hai đường thẳng đó đều phải tiếp tuyến ở hai cạnh đối diện của K. Một đường cong có chiều rộng không đổi là ranh giới của một tập lồi với tính chất sau: với mỗi hướng cho trước, hai đường thẳng tiếp tuyến theo hướng đó ở hai cạnh đối diện của đường cong cách nhau một khoảng không đổi bằng chiều rộng. Một số ví dụ của những đường cong này bao gồm đường tròn và tam giác Reuleaux, một tam giác cong hình thành bởi các hình cung với tâm là các đỉnh của một tam giác đều và đi qua hai đỉnh còn lại. Diện tích giới hạn bởi tam giác Reuleaux với chiều rộng w là

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})w^{2}\approx 0.70477w^{2}.}$

Định lý Blaschke–Lebesgue nói đây là diện tích nhỏ nhất có thể của một đường cong có chiều rộng không đổi w, với dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đường cong đó là một tam giác Reuleaux.^[1]

Trong mặt phẳng khác

Định lý trên cũng đúng trong mặt phẳng hyperbol.^[11] Với mọi hàm khoảng cách lồi trên mặt phẳng (khoảng cách ở đây là norm của hiệu vectơ hai điểm, với một norm bất kỳ), một định lý tương tự cũng đúng, trong đó đường cong có chiều rộng không đổi với diện tích nhỏ nhất là phần giao của ba đĩa metric, mỗi đĩa có đường giới hạn đi qua hai đĩa kia.^[12][13]

Ứng dụng

Định lý Blaschke–Lebesgue đã được dùng để đưa ra một chiến thuật tối ưu trong trường hợp tổng quát của trò chơi Battleship, trong đó một người chơi bố trí những chiến hạm trên bảng lưới nguyên và một người chơi khác cố gắng xác định vị trí của tàu với số lần đoán sai ít nhất. Với con tàu có n điểm lưới, có thể giới hạn số lần đoán sai trong O(log log n).^[14]

Bài toán liên quan

Theo bất đẳng thức đẳng chu, đường cong có chiều rộng không đổi trong mặt phẳng Euclid với diện tích lớn nhất là một đường tròn.^[1] Chu vi của một đường cong có chiều rộng không đổi w là π w, bất kể hình dạng của nó; đây chính là định lý Barbier.^[15]

Hiện chưa rõ bề mặt có chiều rộng không đổi nào trong không gian ba chiều có thể tích nhỏ nhất. Bonnesen và Fenchel năm 1934 đưa ra giả thuyết thể tích nhỏ nhất đạt được với hai vật thể Meissner thu được sau khi làm tròn một số cạnh của tứ diện Reuleaux,^[16] nhưng đến nay vẫn chưa được chứng minh.^[17]

Xem thêm

• Tam giác Reuleaux
• Bất đẳng thức đẳng chu

Tham khảo

1. ^ Gruber, Peter M. (1983), Convexity and its Applications, Birkhäuser, tr. 67, ISBN 978-3-7643-1384-5
2. Martini, Horst; Montejano, Luis; Oliveros, Déborah (2019), Bodies of Constant Width: An introduction to convex geometry with applications, Birkhäuser/Springer, Cham, tr. 336, doi:10.1007/978-3-030-03868-7, ISBN 978-3-030-03866-3, MR 3930585
3. Lebesgue, Henri (1914), “Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constante”, Bulletin de la Société Mathématique de France, 7: 72–76
4. Blaschke, Wilhelm (1915), “Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts”, Mathematische Annalen, 76 (4): 504–513, doi:10.1007/BF01458221, MR 1511839
5. Fujiwara, Matsusaburô (1927), “Analytic proof of Blaschke's theorem on the curve of constant breadth with minimum area”, Proceedings of the Imperial Academy, 3 (6): 307–309, MR 1568234; Fujiwara, Matsusaburo (1931), “Analytic proof of Blaschke's theorem on the curve of constant breadth, II”, Proceedings of the Imperial Academy, 7 (8): 300–302, MR 1568319
6. Mayer, Anton E. (1935), “Der Inhalt der Gleichdicke”, Mathematische Annalen, 110 (1): 97–127, doi:10.1007/BF01448020, MR 1512931
7. Eggleston, H. G. (1952), “A proof of Blaschke's theorem on the Reuleaux triangle”, Quarterly Journal of Mathematics, Second Series, 3: 296–297, doi:10.1093/qmath/3.1.296, MR 0051543
8. Ghandehari, Mostafa (1996), “An optimal control formulation of the Blaschke-Lebesgue theorem”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 200 (2): 322–331, doi:10.1006/jmaa.1996.0208, MR 1391153
9. Harrell, Evans M. II (2002), “A direct proof of a theorem of Blaschke and Lebesgue”, The Journal of Geometric Analysis, 12 (1): 81–88, doi:10.1007/BF02930861, MR 1881292
10. Malagoli, Federica (2009), “An optimal control theory approach to the Blaschke–Lebesgue theorem”, Journal of Convex Analysis, 16 (2): 391–407, MR 2559951
11. Araújo, Paulo Ventura (1997), “Minimum area of a set of constant width in the hyperbolic plane”, Geometriae Dedicata, 64 (1): 41–53, doi:10.1023/A:1004920201363, MR 1432533
12. Ohmann, D. (1952), “Extremalprobleme für konvexe Bereiche der euklidischen Ebene”, Mathematische Zeitschrift, 55: 346–352, doi:10.1007/BF01181132, MR 0048831
13. Chakerian, G. D. (1966), “Sets of constant width”, Pacific Journal of Mathematics, 19: 13–21, MR 0205152
14. Crombez, Loïc; da Fonseca, Guilherme D.; Gerard, Yan (2020), “Efficient algorithms for Battleship”, trong Farach-Colton, Martin; Prencipe, Giuseppe; Uehara, Ryuhei (biên tập), 10th International Conference on Fun with Algorithms (FUN 2021), Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 157, Dagstuhl, Germany: Schloss Dagstuhl–Leibniz-Zentrum für Informatik, tr. 11:1–11:15, doi:10.4230/LIPIcs.FUN.2021.11, ISBN 978-3-95977-145-0
15. Barbier, E. (1860), “Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert” (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, 2^e série (bằng tiếng Pháp), 5: 273–286. See in particular pp. 283–285.
16. Bonnesen, Tommy; Fenchel, Werner (1934), Theorie der konvexen Körper, Springer-Verlag, tr. 127–139
17. Anciaux, Henri; Guilfoyle, Brendan (2011), “On the three-dimensional Blaschke–Lebesgue problem”, Proceedings of the American Mathematical Society, 139 (5): 1831–1839, doi:10.1090/S0002-9939-2010-10588-9, MR 2763770