Định lý Fuhrmann

Trong hình học Euclid, định lý Fuhrmann phát biểu như sau: Cho lục giác lồi ${\displaystyle ABCDEF}$ nội tiếp^[1][2]. Khi đó:${\displaystyle AD.BE.CF=AB.CD.EF+AF.BC.DE+AB.DE.CF+BC.EF.AD+CD.AF.BE}$

Chứng minh

Định lý Fuhrmann được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Ptoleme cho các tứ giác ABDE, BCDF, ADEF, ABEF

${\displaystyle AD.BE=AB.DE+AE.BD}$,

${\displaystyle BD.CF=BC.DF+BF.CD}$,

${\displaystyle AE.DF=AD.EF+AF.DE}$,

${\displaystyle AE.BF=AB.EF+AF.BE}$.

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với ${\displaystyle CF}$, chúng ta có: ${\displaystyle AD.BE.CF=AB.DE.CF+AE.BD.CF.}$

Tiếp theo chúng ta thay thế BD.CF bởi ${\displaystyle BC.DF+BF.CD}$ trong hệ số thứ hai ở vế phải ta có: ${\displaystyle AD.BE.CF=AB.DE.CF+AE.BC.DF+AE.BF.CD.}$

Sử dụng phương trình thứ ba và bốn ta thay thế ${\displaystyle AE.DF}$ bởi ${\displaystyle AD.EF+AF.DE}$, và ${\displaystyle AE.BF}$ bởi ${\displaystyle AB.EF+AF.BE}$. Định lý được chứng minh.^[3]

Xem thêm

• Định lý Ptoleme
• Đa giác nội tiếp

Tham khảo

1. Fuhrmann, W. Synthetische Beweise Planimetrischer Sätze. Berlin, p. 61, 1890.
2. Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 65-66, 1929.
3. Fuhrmann's theorem

Liên kết ngoài

• Fuhrmann's Theorem tại MathWorld