Định lý Golod–Shafarevich

Trong toán học, định lý Golod–Shafarevich được chứng minh trong 1964 bởi Evgeny Golod và Igor Shafarevich. Định lý này là kết quả trong đại số đồng điều không giao hoán giải bài toán tháp trường lớp, bằng cách chứng minh có một số tháp trường lớp có thể vô hạn.

Bất đẳng thức

Gọi A = K⟨x₁, ..., x_n⟩ là đại số tự do trên trường K trên n = d + 1 biến không giao hoán nhau x_i.

Gọi J là ideal 2 phía của A được sinh bởi các phần tử thuần nhất f_j của A với bậc d_j cùng với

2 ≤ d₁ ≤ d₂ ≤ ...

trong đó d_j tiến đến vô cùng. Tiếp đến, gọi r_i là số các d_j bằng i.

Đặt B=A/J, là đại số phân bậc. Lấy b_j = dim B_j.

Bất đẳng thức nền tảng của Golod và Shafarevich phát biểu rằng

${\displaystyle b_{j}\geq nb_{j-1}-\sum _{i=2}^{j}b_{j-i}r_{i}.}$

Hệ quả sau đó:

• B vô hạn chiều nếu r_i ≤ d²/4 với mọi i

Ứng dụng

Kết quả này có một số ứng dụng quan trọng trong lý thuyết nhóm tổ hợp:

• Nếu G là p-nhóm hữu hạn không tầm thường, thì r > d²/4 khi d = dim H¹(G,Z/pZ) và r = dim H²(G,Z/pZ) (các nhóm đối đồng điều mod p của G). Cụ thể hơn, nếu G là p-nhóm hữu hạn với tối thiểu số phần tử sinh d và có r quan hệ trong biểu diễn quan hệ, thì r > d²/4.
• Với mỗi số nguyên tố p, tồn tại nhóm vô hạn G được sinh bởi ba phân tử trong đó mỗi phần tử có cấp là lũy thừa của p. Nhóm G này là ví dụ phản chứng cho giả thuyết Burnside tổng quát: nó là nhóm xoắn vô hạn và hữu hạn sinh, mặc dù không có cận chia đều trên các cấp của các phần tử của nhóm.

Trong lý thuyết trường lớp, tháp trường lớp của trường số K được tạo bằng cách lần lượt xây dựng tháp theo phương pháp xây dựng trường lớp Hilbert. Bài toán tháp trường lớp hỏi rằng liệu tháp này có luôn hữu hạn?; Hasse (1926) quy bài toán này cho Furtwangler, mặc dù Furtwangler nói ông nghe câu hỏi từ Schreier. Một hệ quả khác của định lý Golod–Shafarevich là các trường xây dựng như thế có thể vô hạn (nói cách khác, luôn không kết thúc thành trường bằng với trường lớp Hilbert của nó). Cụ thể,

• Gọi K là trường toàn phương ảo có định thức có ít nhất 6 nhân tử nguyên tố. Khi đó 2-mở rộng tối đại không phân nhánh của K sẽ có bậc vô hạn.

Tổng quát hơn, một trường số với đủ nhân tử nguyên tố trong định thức sẽ có tháp vô hạn trường lớp.

Tham khảo

• Golod, E.S; Shafarevich, I.R. (1964), “On the class field tower”, Izv. Akad. Nauk SSSSR, 28: 261–272 (in Russian) MR0161852
• Hasse, Helmut (1926), “Bericht über neuere Unterschungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper.”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Göttingen: Teubner, 35
• Golod, E.S (1964), “On nil-algebras and finitely approximable p-groups.”, Izv. Akad. Nauk SSSSR, 28: 273–276 (in Russian) MR0161878
• Herstein, I.N. (1968). Noncommutative rings. Carus Mathematical Monographs. MAA. ISBN 0-88385-039-7. See Chapter 8.
• Johnson, D.L. (1980). "Topics in the Theory of Group Presentations" (1st ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-23108-6. See chapter VI.
• Koch, Helmut (1997). Algebraic Number Theory. Encycl. Math. Sci. 62 (ấn bản thứ 1). Springer-Verlag. tr. 180. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044.
• Narkiewicz, Władysław (2004). Elementary and analytic theory of algebraic numbers. Springer Monographs in Mathematics (ấn bản thứ 3). Berlin: Springer-Verlag. tr. 194. ISBN 3-540-21902-1. Zbl 1159.11039.
• Roquette, Peter (1986) [1967]. “On class field towers”. Trong Cassels, J. W. S.; Fröhlich, A. (biên tập). Algebraic number theory, Proceedings of the instructional conference held at the University of Sussex, Brighton, September 1–17, 1965 . London: Academic Press. tr. 231–249. ISBN 0-12-163251-2.
• Serre, J.-P. (2002), "Galois Cohomology," Springer-Verlag. ISBN 3-540-42192-0. See Appendix 2. (Translation of Cohomologie Galoisienne, Lecture Notes in Mathematics 5, 1973.)