Định lý Lagrange (lý thuyết số)

Trong Lý thuyết số, định lý Lagrange khẳng định:

Nếu p là số nguyên tố và f(x) là một đa thức với hệ số nguyên thuộc trường ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ có bậc là n và không đồng nhất với không (nghĩa là có ít nhất một hệ số không chia hết cho p), thì phương trình ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p}}}$ có không quá n nghiệm trong trường ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$.

Nếu p không phải là số nguyên tố thì có thể có nhiều hơn n nghiệm.

Định lý được đặt theo tên của Joseph-Louis Lagrange.

Một chứng minh của định lý Lagrange

Ta chứng minh quy nạp theo n.

Định lý hiển nhiên đúng với n=0.

Giả sử định lý đúng với n=k, xét đa thức không đồng nhất với không ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k+1}{a_{i}x^{i}}}$, deg(f) = k + 1, với m nghiệm.

Không mất tính tổng quát giả sử m>0, vậy tồn tại r sao cho ${\displaystyle f(r)=0}$.

Khi đó, ${\displaystyle f(x)=f(x)-f(r)=\sum _{i=0}^{k+1}{a_{i}\left(x^{i}-r^{i}\right)}=(x-r)g(x)}$, với g là đa thức có bậc nhỏ thua k+1. Rõ ràng, ${\displaystyle g(x)}$ không đồng nhất với không, do đó ${\displaystyle g(x)}$ có không quá k nghiệm. Kết hợp với ${\displaystyle (x-r)}$ có đúng một nghiệm, suy ra ${\displaystyle f(x)}$ có không quá k+1 nghiệm.

Suy ra điều phải chứng minh.

Tham khảo