Định lý Stolz–Cesàro

Trong toán học, định lý Stolz–Cesàro là một tiêu chuẩn để chứng minh tính hội tụ của một dãy số. Định lý này được đặt tên theo nhà toán học Otto Stolz và Ernesto Cesàro, người đầu tiên phát biểu và chứng minh định lý này.

Định lý Stolz–Cesàro có thể được coi là mở rộng của trung bình Cesàro, hoặc là phiên bản dãy số của quy tắc l'Hôpital.

Phát biểu

Cho $(a n)$ và $(b n)$ là hai dãy số thực. Định lý được phát biểu trong hai trường hợp

Trường hợp $∙/\infty$

Giả sử $(b n)$ là dãy đơn điệu nghiêm ngặt và phân kỳ (tức nó tăng nghiêm ngặt và tiến đến $+\infty$ , hoặc giảm nghiêm ngặt và tiến đến $-\infty$ ). Nếu giới hạn sau tồn tại:

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=L,\

thì:

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L.\

Trường hợp $0/0$

Giả sử $(a n)$ và $(b n)$ đều tiến tới $0$ , đồng thời $(b n)$ là dãy đơn điệu nghiêm ngặt. Nếu

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l

thì

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l

^[1]

Lịch sử

Trường hợp $\infty/\infty$ được phát biểu và chứng minh ở trang 173—175 trong quyển sách năm 1885 của Stolz và ở trang 54 trong bài viết năm 1888 của Cesàro.

Định lý cũng xuất hiện trong quyển sách giải tích của Pólya và Szegő (1925), và là bài toán 70 trong sách.

Dạng tổng quát

Định lý Stolz–Cesàro trong trường hợp tổng quát được phát biểu sử dụng khái niệm giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy số.^[2]

Nếu $(a n)$ và $(b n)$ là các dãy số thực sao cho $(b n)$ đơn điệu nghiêm ngặt và không bị chặn thì:

\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.

Để ý rằng nếu

\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=L,

thì giới hạn trên và dưới của ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ cũng bằng nhau, tức giới hạn

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}

cũng tồn tại và bằng $L$ .

Tham khảo

Mureşan, Marian (2008), A Concrete Approach to Classical Analysis, Berlin: Springer, tr. 85–88, ISBN 978-0-387-78932-3.
Stolz, Otto (1885), Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Leipzig: Teubners, tr. 173–175.
Cesàro, Ernesto (1888), “Sur la convergence des séries”, Nouvelles annales de mathématiques, Series 3, 7: 49–59.
Pólya, George; Szegő, Gábor (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, I, Berlin: Springer.
A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Real Analysis on Intervals. Springer, 2014, ISBN 9788132221487, pp. 59-62
J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (February 2012), pp. 52–60 (JSTOR)