Định lý Thomsen

Định lý Thomsen, ${\displaystyle P_{7}=P_{1}}$

Định lý Thomsen, đặt theo tên Gerhard Thomsen (1899 – 1934), là một định lý trong lĩnh vực hình học phẳng. Định lý phát biểu như sau: Từ một điểm ${\displaystyle P_{1}}$ trên một cạnh của tam giác ta dựng đường thẳng song song với một cạnh thứ ba và cắt cạnh thứ hai tại điểm ${\displaystyle P_{2}}$, từ điểm ${\displaystyle P_{2}}$ ta lại kẻ một đường thẳng song song với cạnh thứ nhất cắt cạnh thứ ba tại điểm ${\displaystyle P_{3}}$ quá trình cứ lặp lại như vậy thì điểm thứ ${\displaystyle 7}$ sẽ trùng với điểm thứ nhất.^[1][2]

Cho lục giác ${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}}$ với các cạnh song song với các cạnh của tam giác ABC gọi là lục giác Thomsen. Nếu lục giác ${\displaystyle P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}}$ với các cạnh ngược song song với các cạnh tam giác ABC gọi là lục giác Tucker.

Mở rộng

Khi ${\displaystyle B_{7}=B_{1}}$ khi và chỉ khi sáu điểm ${\displaystyle A_{1},A_{2},}$ ${\displaystyle A_{3},A_{4},}$ ${\displaystyle A_{5},}$ ${\displaystyle A_{6}}$ nằm trên một conic

Cho tam giác ${\displaystyle ABC}$, cho hai điểm ${\displaystyle A_{1},A_{4}}$ trên cạnh BC, hai điểm ${\displaystyle A_{2},A_{5}}$ trên cạnh ${\displaystyle CA}$, hai điểm ${\displaystyle A_{3},A_{6}}$ trên cạnh ${\displaystyle AB}$. Cho ${\displaystyle B_{1}}$ trên cạnh ${\displaystyle BC}$ và ${\displaystyle B_{1}\neq A_{1}}$. Ta xây dựng một dãy các đường thẳng song song như sau. Đường thẳng qua ${\displaystyle B_{1}}$ song song với ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$ cắt ${\displaystyle AB}$ tại ${\displaystyle B_{2}}$, đường thẳng qua ${\displaystyle B_{2}}$ song song với ${\displaystyle A_{2}A_{3}}$ giao với ${\displaystyle AB}$ tại ${\displaystyle B_{3}}$. Đường thẳng qua ${\displaystyle B_{3}}$ song song ${\displaystyle A_{3}A_{4}}$ giao với ${\displaystyle BC}$ tại ${\displaystyle B_{4}}$, đường thẳng qua ${\displaystyle B_{4}}$ song song với ${\displaystyle A_{4}A_{5}}$ cắt ${\displaystyle BC}$ tại ${\displaystyle B_{5}}$. Đường thẳng qua ${\displaystyle B_{5}}$ song song với ${\displaystyle A_{5}A_{6}}$ giao với ${\displaystyle AB}$ tại ${\displaystyle B_{6}}$, đường thẳng qua ${\displaystyle B_{6}}$ song song với ${\displaystyle A_{6}A_{1}}$ giao với ${\displaystyle BC}$ tại ${\displaystyle B_{7}}$. Khi đó ${\displaystyle A_{1},A_{2},}$ ${\displaystyle A_{3},A_{4},}$ ${\displaystyle A_{5},}$ ${\displaystyle A_{6}}$ nằm trên conic nếu và chỉ nếu ${\displaystyle B_{7}=B_{1}}$.^[3]

• Khi conic qua sáu điểm ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}}$ là inelipse steiner định lý trên suy biến thành định lý Thomsen theorem
• Khi conic qua sáu điểm ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}}$ là đường tròn ngoại tiếp định lý trên suy biến thành đường tròn Tucker và lục giác Tucker

Xem thêm

• Đường tròn Tucker và lục giác Tucker

Tham khảo

1. Satz von Thomsen In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, pp. 358–359 (German)
2. Darij Grinberg: Schließungssätze in der ebenen Geometrie
3. A generalization of Thomsen theorem and Tucker circle

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Thomsen's Figure" từ MathWorld.