Đồng dư thức của Kummer

Trong toán học, đồng dư thức của Kummer là một số đồng dư thức bao gồm cả số Bernoulli, được phát hiện bởi Ernst Eduard Kummer (1851).

Kubota & Leopoldt (1964) sử dụng đồng dư thức của Kummer để định nghĩa hàm zeta p-adic.

Phát biểu

Dạng đơn giản nhất của đồng dư thức Kummer phát biểu rằng

{\frac {B_{h}}{h}}\equiv {\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p}}{\text{ khi }}h\equiv k{\pmod {p-1}}

trong đó p là số nguyên tố, h và k là hai số nguyên dương chẵn không chia hết cho p−1 và các số B_h là số Bernoulli.

Tổng quát hơn, nếu h và k là số nguyên dương chẵn không chia hết cho p − 1, thì

(1-p^{h-1}){\frac {B_{h}}{h}}\equiv (1-p^{k-1}){\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p^{a+1}}}

mỗi khi

h\equiv k{\pmod {\varphi (p^{a+1})}}

trong đó φ(p^a+1) là hàm phi Euler, được tính tại p^a+1 và a là số nguyên không âm. Tại a = 0, biểu thức lấy dạng đơn giản hơn ở trên. Hai vế của đồng dư thức là các giá trị của hàm zeta p-adic, và đồng dư thức Kummer chỉ ra rằng hàm zeta p-adic cho số nguyên âm có tính liên tục, do đó có thể mở rộng theo tính liên tục cho mọi số nguyên p-adic.

Xem thêm

Định lý Von Staudt–Clausen, một loại đồng dư thức khác có bao gồm số Bernoulli

Tham khảo

Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3, MR 0754003
Kubota, Tomio; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), “Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 214/215: 328–339, doi:10.1515/crll.1964.214-215.328, ISSN 0075-4102, MR 0163900
Kummer, Ernst Eduard (1851), “Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoëfficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 41: 368–372, doi:10.1515/crll.1851.41.368, ISSN 0075-4102, ERAM 041.1136cj