Bài toán Brocard

Đừng nhầm lẫn với giả thuyết Brocard.

Vấn đề mở trong toán học: Phương trình ${\displaystyle n!+1=m^{2}}$ có nghiệm nguyên nào khác không ngoài ${\displaystyle n=4,5,7}$? (các vấn đề mở khác trong toán học)

Bài toán Brocard là bài toán mở trong toán học yêu cầu tìm các giá trị nguyên của ${\displaystyle n}$ và ${\displaystyle m}$ sao cho $${\displaystyle n!+1=m^{2},}$$ với ${\displaystyle n!}$ là giai thừa. Nó được đưa bởi Henri Brocard trong hai bài báo vào 1876 và 1885,^[1][2] và độc lập trong 1913 bởi Srinivasa Ramanujan.^[3]

Số Brown

Các cặp ${\displaystyle (n,m)}$ giải bài toán Brocard được đặt tên cặp số Brown bởi Clifford A. Pickover trong quyển sách năm 1995 của ông: Chìa khóa tới vô cực, sau khi biết được bài toán từ Kevin S. Brown.^[4] Hiện vào tháng 5 năm 2021, chỉ có 3 cặp số Brown được biết: (4,5), (5,11), và (7,71) dựa trên các đẳng thức sau:

4! + 1 = 5² = 25,

5! + 1 = 11² = 121

7! + 1 = 71² = 5041

Paul Erdős phỏng đoán rằng không nghiệm nguyên nào khác tồn tại. Tìm kiếm bằng máy tính lên tới 10¹⁵ cũng không thấy nghiệm nào khác tồn tại.^[5][6][7]

Quan hệ với giả thuyết abc

Từ giả thuyết abc sẽ ra được chỉ có hữu hạn số Brown.^[8] Tổng quát hơn, từ giả thuyết ta cũng sẽ chứng minh được

${\displaystyle n!+A=k^{2}}$

có hữu hạn số nghiệm với bất kỳ số nguyên ${\displaystyle A}$,^[9] và

${\displaystyle n!=P(x)}$

có hữu hạn số nghiệm nguyên với bất kì đa thức ${\displaystyle P(x)}$ với bậc không nhỏ hơn 2 và hệ số nguyên.^[10]

Tham khảo

1. Brocard, H. (1876), “Question 166”, Nouv. Corres. Math., 2: 287
2. Brocard, H. (1885), “Question 1532”, Nouv. Ann. Math., 4: 391
3. Ramanujan, Srinivasa (2000), “Question 469”, trong Hardy, G. H.; Aiyar, P. V. Seshu; Wilson, B. M. (biên tập), Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, tr. 327, ISBN 0-8218-2076-1, MR 2280843
4. Pickover, Clifford A. (1995), Keys to Infinity, John Wiley & Sons, tr. 170
5. Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), “On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation n! + 1 = m²” (PDF), Ramanujan Journal, 4 (1): 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276, MR 1754629, S2CID 119711158
6. Matson, Robert (2017), “Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues” (PDF), Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 6 tháng 10 năm 2018, truy cập ngày 7 tháng 5 năm 2017
7. Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), C++ Brocard GitHub Repository
8. Overholt, Marius (1993), “The Diophantine equation n! + 1 = m²”, The Bulletin of the London Mathematical Society, 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104, MR 1204060
9. Dąbrowski, Andrzej (1996), “On the Diophantine equation x! + A = y²”, Nieuw Archief voor Wiskunde, 14 (3): 321–324, MR 1430045
10. Luca, Florian (2002), “The Diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt” (PDF), Glasnik Matematički, 37(57) (2): 269–273, MR 1951531

Đọc thêm

• Guy, R. K. (2004), “D25: Equations involving factorial ${\displaystyle n}$”, Unsolved Problems in Number Theory (ấn bản thứ 3), New York: Springer-Verlag, tr. 301–302

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:Mathworld2
• Copeland, Ed, “Brown Numbers”, Numberphile, Brady Haran, Bản gốc lưu trữ ngày 9 tháng 11 năm 2014, truy cập ngày 6 tháng 4 năm 2013