Bài toán Brocard

Vấn đề mở trong toán học:
Phương trình có nghiệm nguyên nào khác không ngoài ?
(các vấn đề mở khác trong toán học)

Bài toán Brocard là bài toán mở trong toán học yêu cầu tìm các giá trị nguyên của sao cho với giai thừa. Nó được đưa bởi Henri Brocard trong hai bài báo vào 1876 và 1885,[1][2] và độc lập trong 1913 bởi Srinivasa Ramanujan.[3]

Số Brown

[sửa | sửa mã nguồn]

Các cặp giải bài toán Brocard được đặt tên cặp số Brown bởi Clifford A. Pickover trong quyển sách năm 1995 của ông: Chìa khóa tới vô cực, sau khi biết được bài toán từ Kevin S. Brown.[4] Hiện vào tháng 5 năm 2021, chỉ có 3 cặp số Brown được biết: (4,5), (5,11), và (7,71) dựa trên các đẳng thức sau:

4! + 1 = 52 = 25,

5! + 1 = 112 = 121

7! + 1 = 712 = 5041

Paul Erdős phỏng đoán rằng không nghiệm nguyên nào khác tồn tại. Tìm kiếm bằng máy tính lên tới 1015 cũng không thấy nghiệm nào khác tồn tại.[5][6][7]

Quan hệ với giả thuyết abc

[sửa | sửa mã nguồn]

Từ giả thuyết abc sẽ ra được chỉ có hữu hạn số Brown.[8] Tổng quát hơn, từ giả thuyết ta cũng sẽ chứng minh được

có hữu hạn số nghiệm với bất kỳ số nguyên ,[9]

có hữu hạn số nghiệm nguyên với bất kì đa thức với bậc không nhỏ hơn 2 và hệ số nguyên.[10]

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
  1. ^ Brocard, H. (1876), “Question 166”, Nouv. Corres. Math., 2: 287
  2. ^ Brocard, H. (1885), “Question 1532”, Nouv. Ann. Math., 4: 391
  3. ^ Ramanujan, Srinivasa (2000), “Question 469”, trong Hardy, G. H.; Aiyar, P. V. Seshu; Wilson, B. M. (biên tập), Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, tr. 327, ISBN 0-8218-2076-1, MR 2280843
  4. ^ Pickover, Clifford A. (1995), Keys to Infinity, John Wiley & Sons, tr. 170
  5. ^ Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), “On the Brocard–Ramanujan Diophantine equation n! + 1 = m2 (PDF), Ramanujan Journal, 4 (1): 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276, MR 1754629, S2CID 119711158
  6. ^ Matson, Robert (2017), “Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues” (PDF), Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 6 tháng 10 năm 2018, truy cập ngày 7 tháng 5 năm 2017
  7. ^ Epstein, Andrew; Glickman, Jacob (2020), C++ Brocard GitHub Repository
  8. ^ Overholt, Marius (1993), “The Diophantine equation n! + 1 = m2”, The Bulletin of the London Mathematical Society, 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104, MR 1204060
  9. ^ Dąbrowski, Andrzej (1996), “On the Diophantine equation x! + A = y2”, Nieuw Archief voor Wiskunde, 14 (3): 321–324, MR 1430045
  10. ^ Luca, Florian (2002), “The Diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt” (PDF), Glasnik Matematički, 37(57) (2): 269–273, MR 1951531

Đọc thêm

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Guy, R. K. (2004), “D25: Equations involving factorial ”, Unsolved Problems in Number Theory (ấn bản thứ 3), New York: Springer-Verlag, tr. 301–302

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan