Biến đổi Alpha-beta

Trong kỹ thuật điện, Biến đổi alpha-beta (${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$)  (cũng được biết như Biến đổi Clarke) là một phép biến đổi toán học để đơn giản hóa việc phân tích mạch điện 3 pha. Về khái niệm tương tự như biến đổi dqo. Một ứng dụng rất hữu ích của biến đổi ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ là tạo ra các tín hiệu tham chiếu dùng để điều chế vector không gian của Biến tần 3 pha.

Định nghĩa

Biến đổi ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ được áp dụng cho dòng điện 3 pha, sử dụng bởi Edith Clarke ^[1]

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

Với ${\displaystyle i_{abc}(t)}$ là dòng điện xoay chiều 3 pha và ${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)}$ là dòng điện tương ứng qua phép biến đổi ma trận ${\displaystyle T}$. Biến đổi nghịch đảo:

${\displaystyle i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

Trên đây là biên đổi Clarke bảo toàn biên độ của các biến đã được sử dụng. thật ra, hãy xem xét nguồn điện 3 pha đối xứng, có hướng và dòng như sau:

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}}$

với ${\displaystyle I}$ là Giá trị hiệu dụng của ${\displaystyle i_{a}(t)}$, ${\displaystyle i_{b}(t)}$, ${\displaystyle i_{c}(t)}$ và ${\displaystyle \theta (t)}$ là góc biến thiên theo thới gian có thể quy ước ${\displaystyle \omega t}$ không bị tổn hao năng lượng. Sau đó, bằng cách sử dụng phép biến đổi ${\displaystyle T}$ ta có được kết quả sau

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}}$

ở phương trình cuối chứa những gì chúng ta đã xem xét các dòng điện đã cân bằng. như những gì đã ghi ở phía trên, Biên độ của dòng điện 3 pha trong hệ tham chiếu ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ hoàn toàn giống với dòng điện ba 3 ở hệ tham chiếu tiêu chuẩn.

Chuyển đổi công suất

Công suất thuần và công suất phản kháng được tính toán trong miền Clark với phép biến đổi bên trên cho kết quả không giống với hệ tham chiếu tiêu chuẩn. Điều này xảy ra vì ma trận ${\displaystyle T}$ không phải là ma trận đồng nhất. Để bảo toàn công suất thuần và công suất phản kháng ta có:

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},}$

Ta có ma trận động nhất, khi chúng ta nghịch đảo ma trận đồng nhất thì vẫn là nó.^[2] Trong trường hợp này,biên độ của dòng biến đổi lại không giống với dòng trong tham chiếu tiêu chuẩn, ta có phương trình chuyển đổi sau:

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}}$

Cuối cùng,nghịch đảo của biến đổi trong trường hợp này là

${\displaystyle i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

Phép biến đổi giản thể

xét một hệ thống cân bằng ${\displaystyle i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0}$ với  ${\displaystyle i_{\gamma }(t)=0}$ ta được hệ biến đổi đơn giản^[3]

${\displaystyle i_{\alpha \beta }(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

Bản gốc biến đổi đơn giản của Clarke với phương trình thứ 3 bị loại bỏ

${\displaystyle i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}.}$

Biểu diễn trên Hình Học

Biến đổi ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ coi như là hình chiếu của điện 3 pha (điện áp hoặc dòng điện) lên hai trục: alpha và beta.

hình trên là phép biến đổi ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ áp dụng cho dòng điện 3 pha đối xứng cân đối hơn dòng chảy qua ba windings đều bị chia lìa bởi 120 vật lý độ. Dòng điện 3 pha chảy xuôi rồi họ tương ứng với giai đoạn voltages bởi ${\displaystyle \delta }$. Cái ${\displaystyle \alpha }$-${\displaystyle \beta }$ trục là được xuất hiện với những ${\displaystyle \alpha }$ trục liên minh với giai đoạn ''. Hiện tại toạ độ ${\displaystyle I_{\alpha \beta \gamma }}$ quay với vận tốc cực đại ${\displaystyle \omega }$. Không có ${\displaystyle \gamma }$ thành phần từ những dòng chảy xuôi là được giữ cân bằng.

Phép biến đổi ${\displaystyle dqo}$

Phép biến đổi ${\displaystyle dqo}$ có nội dung tương tự như phép biến đổi ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$. Trong khi đó, Biến đổi dqo biến là hình chiếu của các pha lên hệ quy chiếu 2 trục quay, Còn biến đổi ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$ có thể coi như hình chiếu của các pha lên hệ quy chiếu 2 trục tĩnh.

Tham khảo

1. W. C. Duesterhoeft; Max W. Schulz; Edith Clarke (tháng 7 năm 1951). “Determination of Instantaneous Currents and Voltages by Means of Alpha, Beta, and Zero Components”. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers. 70 (2): 1248–1255. doi:10.1109/T-AIEE.1951.5060554. ISSN 0096-3860.
2. S. CHATTOPADHYAY; M. MITRA; S. SENGUPTA (2008). “Area Based Approach for Three Phase Power Quality Assessment in Clarke Plane” (PDF). Journal of Electrical Systems. 04 (01): 62. Truy cập ngày 26 tháng 4 năm 2012.^{[liên kết hỏng]}
3. F. Tahri, A.Tahri, Eid A. AlRadadi and A. Draou Senior, "Analysis and Control of Advanced Static VAR compensator Based on the Theory of the Instantaneous Reactive Power," presented at ACEMP, Bodrum, Turkey, 2007.

Xem thêm

• Cân đối hơn cấu
• -Y Δ thay đổi
• Trường-định hướng kiểm soát