Công năng Diatonic

Trong lý thuyết âm nhạc về Giọng Điệu, một công năng^[1] (thường được gọi là công năng hòa âm, công năng Giọng Điệu hay công năng diatonic hay cũng có thể là vùng hợp âm) là một thuật ngữ để mô tả mối quan hệ của hợp âm với Giọng Điệu trung tâm. Khái niệm công năng hòa âm chưa bao giờ được định nghĩa rõ ràng, nhưng được dùng để hiểu hơn về tính quyết định của Giọng điệu về những Hợp âm (hay về vai trò của Hợp âm) trong âm nhạc có Giọng điệu. Nó cũng giúp cho việc nhận ra sự quan trọng của hệ thống thứ bậc giữa các bậc trong hệ thống âm giai Giọng Điệu (the tonal scale) và trong việc hòa âm mà chúng hỗ trợ, và trong sự quy đổi tương đương giữa một vài giá trị trong hệ thống thứ bậc này.

Hai học thuyết chính của các công năng Giọng Điệu được sử dụng ngày nay, đều được dùng để giải quyết mối quan hệ của Hợp âm và chủ âm của nó:

• Học thuyết của Đức được sáng tạo bởi Hugo Riemann trong tác phẩm Vereinfachte Harmonielehre vào năm 1893, tác phẩm nhanh chóng trở nên nổi tiếng trên toàn thế giới (xuất hiện bản dịch tiếng Anh và Nga trong năm 1896, bản dịch tiếng Pháp trong năm 1899).^[2] Riemann mô tả 3 khái niệm công năng Giọng điệu là Chủ âm, Âm át và Âm hạ át, kí hiệu tuần tự bởi những kí tự là T, D và S. Những khái niệm này sẽ có một chút thay đổi tùy vào các hợp âm trong âm giai.^[3] Học thuyết này được ứng dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu phương pháp hòa âm và phân tích trong các quốc gia nói tiếng đức và các quốc gia khác phía Bắc và Đông Châu Âu khác.
• Học thuyết Viennese, đặc trưng bởi việc sử dụng chữ số Roman để đại diện cho các Hợp âm của Âm giai Giọng điệu, được phát triển bởi Simon Sechter, Arnold Schoenberg, Heinrich Schenker và những người khác,^[4] được sử dụng ngày nay trong các quốc gia phía Tây Châu Âu và Mỹ. Học thuyết này về cơ bản không giải thích rõ ràng về các chức năng của Giọng Điệu. Nó chỉ đề cập đến các vấn đề về mối quan hệ của các Hợp âm với Chủ âm của nó trong những hoàn cảnh hòa âm nhất định, luôn luôn tuân theo chu kì quãng 5. Điều này thực ra mô tả những cái mà có thể được gán cho công năng của các hợp âm trở nên hoàn toàn rõ ràng trong tác phẩm Structural Functions of Harmony của Schoenberg trong năm 1954, một luận văn ngắn đề cập chủ yếu đến vấn đề hòa âm trong một bản nhạc có Giọng Điệu đơn thông thường.^[5]

Cả hai học thuyết đều có phần nào lấy cảm hứng từ các học thuyết của Jean-Philippe Rameau, bắt đầu với tác phẩm Traité d'harmonie vào năm 1722.^[6] Thậm chí nếu khái niệm Công năng hòa âm không được đưa vào trước năm 1893, nó sẽ vẫn tồn tại, một cách trực tiếp hay gián tiếp, trong nhiều học thuyết về hòa âm trước thời điểm đó. Việc sử dụng rất sớm thuật ngữ này trong âm nhạc (không hoàn toàn giống cách hiểu được mô tả ở đây, hay không chỉ đơn giản như cách hiểu này) xuất hiện ở Fétis (tác phẩm Traité complet de la théorie et de la pratique de l'harmonie, 1844), Durutte (tác phẩm Esthétique musicale, 1855), Loquin (tác phẩm Notions élémentaires d'harmonie modern, 1862),...^[7]

Lịch sử

Nguồn gốc của các khái niệm

Khái niệm Công năng hòa âm bắt nguồn từ những học thuyết về việc Điều chỉnh ngữ điệu chuẩn (just intonation). Chúng ta thấy rằng 3 hợp âm trưởng, cách nhau một quãng 5 đủ, tạo ra 7 bậc của âm giai trưởng nằm trong một trong số những hình thức của việc Điều chỉnh ngữ điệu chuẩn: ví dụ, Hợp âm F–A–C, C–E–G và G–B–D tạo ra 7 nốt trong một âm giai trưởng. Những hợp âm này ngay lập tức được cho là những hợp âm quan trọng của Giọng điệu trưởng, với chủ âm ở giữa, âm át ở trên và âm hạ át ở dưới.

Hệ thống này có lẽ là một trong những lý do tại sao bậc 4 trong âm giai và hợp âm được xây dựng trên nó được gọi là âm hạ át, tức là âm át dưới chủ âm. Nó cũng là nguồn gốc của việc hình thành học thuyết nhị nguyên (dualism) âm nhạc. Học thuyết này không chỉ mô tả âm giai trong việc Điều chỉnh ngữ điệu chuẩn(just intonation) như một hệ thống mà còn mô tả Giọng điệu thứ như một sự đảo ngược của một Giọng điệu trưởng. Những học thuyết nhị nguyên bắt đầu được sưu tầm để lưu giữ từ thế kỉ 16.

Học thuyết về Công năng âm nhạc của Đức

Thuật ngữ 'hòa âm công năng' (functional harmony) xuất phát từ Hugo Riemann và, cụ thể hơn, từ tác phẩm của ông là Harmony Simplified.^[8] Nguồn cảm hứng trực tiếp của Riemann đến từ việc mô tả Giọng điệu theo phương pháp biện chứng của Moriz Hauptmann.^[9] Riemann mô tả 3 khái niệm về công năng là chủ âm, âm át (bậc 5 của nó) và âm hạ át (bậc 4 của nó).^[10] Ngoài ra, ông cũng cho rằng Âm giai thứ là một sự đảo ngược của âm giai trưởng, vì vậy âm át là bậc 5 trên của chủ âm trong âm giai trưởng, nhưng lại là bậc 5 dưới của chủ âm trong âm giai thứ; Tương tự, âm hạ át là bậc 5 dưới của chủ âm(hay bậc 4 trên) trong âm gia trưởng và ngược lại trong âm giai thứ.

Mặc dù sự phức tạp trong học thuyết nhưng tư tưởng của ông có một ảnh hưởng to lớn, đặc biệt tại những nơi chịu ảnh hưởng nặng của nước Đức. Một ví dụ rõ ràng nhất trong điều này là những cuốn sách giáo khoa của Hermann Grabner.^[11] Những lý thuyết gia Đức gần sau này đã bỏ lại những khía cạnh phức tạp nhất phức tạp nhất trong học thuyết của Riemann, khái niệm biện chứng giữa trưởng và thứ, và cho rằng âm át là bậc 5 trên của chủ âm, âm hạ át là bậc 4, trong cả âm giai trưởng và thứ.^[12]

Ba công năng Giọng điệu này (tonal functions) được kí hiệu bằng chữ T, D và S, cho Chủ âm, Âm át và Âm hạ át; Những kí tự này được viết in hoa trong âm giai trưởng (T D S) và viết thường trong âm giai thứ (t d s). Mỗi khái niêm trong bộ ba này có thể được tạo thành từ 3 hợp âm: Hợp âm chính liên quan đến khái niệm đó, một hợp âm bậc 3 trên và một hợp âm bậc 3 dưới. Mối quan hệ giữa các hợp âm và các hợp âm bậc 3 của nó xuất phát từ thực tế rằng chúng khác nhau chỉ duy nhất một nốt, hai nốt còn lại là giống với hai hợp âm còn lại. Ngoài ra, trong âm giai diatonic, một trong những hợp âm cần là một âm giai đối lập. Hai trường hợp cần chú ý là (cũng xem học thuyết Neo-Riemannian):

• Thứ nhất là những hợp âm tương ứng/họ hàng với nhau: Hợp âm thứ trong trường hợp này thì thấp hơn 3 bậc so với hợp âm trưởng parallel của nó và ngược lại. Chúng được kí hiệu bởi kí tự P được thêm đến những kí tự đại diện cho công năng (trong tiếng Anh là relative, trong tiếng Đức là parallel), với kí tự viết hoa là Hợp âm trưởng, viết thường là Hợp âm thứ: Tp hay tP, Dp hay dP, Sp hay sP.
• Thứ hai là những hợp âm đối lập nhau, đôi khi được gọi là Hợp âm đối lập (counterrelatives), Hợp âm thứ cao hơn 3 bậc so với hợp âm trưởng, và ngược lại. Nhờ sự di chuyển của các nốt cái mà cho phép sự di chuyển từ Hợp âm trưởng đến hợp âm thứ trong trường hợp này tương ứng với sự thay thế về các yếu tố cơ bản của Hợp âm trưởng bằng một nốt thấp hơn nửa cung (Ví dụ, Đô trong Đô Mi Sol được thay thế bằng Rê trong tạo thành Mi Sol Rê), mối quan hệ này được nói là tương ứng ứng một sự Thay đổi Âm dẫn (Tiếng Đức là Leittonwechsel) và công năng tương ứng được đại diện bằng việc thêm kí tự L: Tl hay tL, Dl hay dL, Sl hay sL.

Cần chú rằng nhiều Hợp âm có thể thực hiện những công năng khác nhau phụ thuộc vào ngữ cảnh của nó. Trong những lý thuyết đơn giản cho rằng công năng trưởng và thứ là cùng cấp bậc trong một âm giai, những công năng mà một hợp âm có thể thực hiện trên âm giai 7 bậc được tóm tắt như sau:

	Độ	I	II	III	IV	V	VI	VII
Chức năng	trong âm trưởng	T	Sp	Dp / (Tg)	S<l	D	Tp / (Sg)
	trong âm thứ	t		tP / (dG)	s	d	sP / tG	dP

Như d'Indy đã tóm lược (1903):^[13]

1. Chỉ có duy nhất một hợp âm, một hợp âm hoàn chỉnh; nó thường là một Hợp âm không chứa quãng nghịch (consonant) vì nó tạo ra một cảm giác thư giãn và cân bằng.
2. Hợp âm này có 2 hình thức khác nhau, trưởng và thứ, phụ thuộc vào việc liệu hợp âm đó được tạo thành từ một quãng 3 thứ trên một quãng 3 trưởng hay một quãng 3 trưởng trên một quãng 3 thứ.
3. Hợp âm này có thể thực hiện 3 công năng khác nhau, Chủ âm, Âm át hay Âm hạ át.

Học thuyết Viennese về các bậc

7 bậc của một âm giai trưởng với những hợp âm tương ứng của chúng và những kí tự Roman đại diện

Học thuyết Viennese thì trái lại, Tác phẩm "Theory of the degrees" (Stufentheorie), được đại diện bởi Simon Sechter, Heinrich Schenker và Arnold Schoenberg cùng với một số người khác, cho rằng mỗi bậc có những chức năng riêng của nó và ám chỉ âm chủ thông qua vòng tròn quãng 5 (cycle of fifths);^[14] Tác phẩm nhấn mạnh quá trình hòa âm dựa trên Hợp âm.

Công năng diatonic về các nốt và hợp âm

Tên của các bậc trong âm giai(Âm giai đô trưởng)  Play^ⓘ).

Play^ⓘChủ âm và chủ âm tương ứng của nó trong Đô trưởng: Hợp âm CM và Am.

Mỗi bậc trong một âm giai diatonic, cũng như mỗi bậc trong nhiều nốt chromatic, có một công năng diatonic khác, tương tự đối với các hợp âm được xây dựng từ những nốt đó. Một Cao độ hay một lớp Cao độ và các Cao đô trùng nhưng khác tên với nó (enharmonic equivalents) có ý nghĩa khác nhau. Ví dụ, Cao độ C♯ không thể thay thế Cao độ D♭, mặc dù xét theo bình quân luật (equal temperament) thì chúng là cùng một Cao độ, vì D♭có thể đóng vai trò như một quãng 3 thứ của một Hợp âm B♭thứ trong khi C♯ thì không thể và C♯ có thể là quãng 5 của một Hợp âm F♯ trưởng nhưng D♭thì không.

Trong lý thuyết âm nhạc, như thường được dạy tại Mỹ, có tất cả 7 công năng khác nhau. Tại Đức, từ học thuyết của Hugo Riemann, thì chỉ có 3 công năng, và những công năng khác với Chủ âm, Âm át, Âm hạ át thì được gọi là công năng tương ứng của chúng (Tiếng Anh là "relatives"). Ví dụ, trong Điệu tính Đô trưởng, một âm La thứ (Hợp âm, âm giai, hay đơn giản chỉ là nốt La) là Chủ âm tương ứng hay Tp.(Những nhạc sĩ Đức thường chỉ sử dụng những kí tự nốt viết in hoa và các kí tự viết tắt chữ số Roman, trong khi tại Mỹ, chữ in hoa và chữ thường được dùng để biểu thị là trưởng hay tăng,và thứ hay giảm.) Tại Mỹ, nó thường được ám chỉ là một âm thứ tương tự (relative minor").

Tại Mỹ, Đức và một số quốc gia khác, công năng diatonic gồm:

Công năng	Kí tự Roman	Tiếng Anh	Tiếng Đức	Tiếng Đức viết tắt
Tonic	I	Tonika	Tonic	T
Supertonic	ii	Subdominantparallele	Relative of the subdominant	Sp
Mediant	iii	Dominantparallele or Tonika-Gegenparallele	Relative of the dominant or Counterrelative of the tonic	Dp/Tg
Subdominant	IV	Subdominante	Subdominant (also Pre-dominant)	S
Dominant	V	Dominante	Dominant	D
Submediant	vi	Tonikaparallele	Relative of the tonic	Tp
Leading (note)	vii°	verkürzter Dominantseptakkord	[Incomplete dominant seventh chord]	diagonally slashed D^7 (Đ^7)

Các nốt có kí hiệu ii, iii, vi, và vii được viết thường. Đó là vì trong mối quan hệ với Điệu tính, chúng là những hợp âm thứ. Không có dấu hóa, nốt vii là một nốt yếu vii°.

Một vài người ban đầu có thể nghi ngờ tính rõ ràng trong các học thuyết hòa âm của Đức, mong muốn có lẽ một sự lựa chọn đã được đưa ra cho tất cả giữa Funktionstheorie của Riemann và cũ hơn là Stufentheorie, hay có thể tin rằng cái học thuyết được gọi là tuyến tính này đã giải quyết được tất cả những tranh luận trước đó. Những bất đồng ý kiến này vẫn tiếp tục diễn ra giữa các học thuyết đối lập nhau, với sự phức tạp và không rõ ràng của nó, có những ưu điểm riêng của nó. Cụ thể, trong khi những sinh viên nói tiếng Anh không tin rằng mình đang học về hòa âm như nó thật sự là, thì những sinh viên Đức đối diện với những công trình lý thuyết thực thụ và buộc phải tìm hiểu nó một cách phù hợp.

— Robert O. Gjerdingen^[10]

Các bậc được liệt kê dựa theo công năng của nó, trong một trật tự có thứ bậc dựa vào tầm quan trọng hay nốt trung tâm (liên quan đến chủ âm): I, V, IV, vi, iii, ii, vii^o. Ba hợp âm đầu tiên là trưởng, ba hợp âm kế tiếp là thứ, và nốt cuối cùng là một nốt yếu.

Hợp âm của Chủ âm, Âm át, Âm hạ át được theo sau bởi Hợp âm tương ứng của nó đối theo vị trí của nốt bass trong hợp âm đó. Hợp âm tương ứng được tạo ra bằng cách tăng lên một quãng 5 đúng; nốt trong hợp âm tương ứng được biểu thị bằng hình tròn nhỏ như hình trên.

Công năng trong âm giai thứ

Tại Mỹ, âm giai thứ được cho là một biến thể của âm giai thứ, trong khi trong lý thuyết âm nhạc của Đức, Riemann cho rằng nó là một âm giai trưởng ngược. Vào cuối thể kỉ 18, đầu thế kỉ 19 rất nhiều hợp âm nghịch và mối quan hệ của chúng được gọi là hòa âm nhị nguyên( dualistic). Nốt chủ trong hợp âm trưởng là nốt bass của nó, nhưng, ngược lại, nốt chủ của một hợp âm thứ lại là nốt ở vị trí quãng 5(Ví dụ: CEG và ACE). Dấu cộng và độ(+ và o), được dùng để kí hiệu rằng nốt thấp hơn của quãng 5 là nốt chủ, như trong âm giai trưởng, +d, hay cao hơn, như trong âm giai thứ, od. Vì vậy, nếu chủ âm trưởng tương ứng là nốt chủ âm với quãng 5 của nó được thăng lên một cung, thì chủ âm thứ tương ứng là chủ âm với nốt chủ(Mỹ)/nốt quãng 5(Đức) giảm xuống một cung.

Chủ âm thứ, âm át, âm hạ át và những âm tương ứng của nó, được tạo ra bằng cách hạ nốt quãng 5(Đức)/nốt chủ(Mỹ) xuống một cung.

Nếu những hợp âm có thể được tạo ra bằng cách tăng(đối với trưởng) và hạ(đối với thứ) nốt quãng 5 một cung thì chúng cũng có thể được tạo thành bằng cách hạ(đối với trưởng) hay tăng(đối với thứ) nốt chủ nửa cung để trở thành wechsel, nốt dẫn hay leitton. Những hợp âm này được gọi là Leittonwechselklänge(hiểu một cách chính xác là: nốt dẫn thay đổi âm), đôi khi được gọi là gegenklang hay Hợp âm tương phản.

Leittonwechselklänge

Mode	Key	Position
Major	E minor	Tl
	A minor	Sl
	B minor	Dl
Minor	A♭ major	tL
	D♭ major	sL
	E♭ major	dL

.Leittonwechselklänge trưởng, được tạo thành bằng cách hạ nốt chủ của hợp âm xuống nửa cung

Leittonwechselklänge thứ, được hình thành bằng cách tăng nốt quãng 5 lên nửa cung.(Trong học thuyết gốc của Riemannian, điều đáng quan tâm ở đây là nốt quãng 5 được xem như nốt chủ của hợp âm thứ nếu đọc từ trên xuống; học thuyết nhị nguyên này không còn được biết đến nhiều ngày nay, kể cả ở Đức).

Những câu trích dẫn

3 thành phần có thể xuất hiện trong bất kì phần nào trong 3 hình thức Hợp âm trong 2 Điệu thức, 18 vị trí là: T, Tp, Tl, t, tP, tL, S, Sp, Sl, s, sP, sL, D, Dp, Dl, d, dP, dL. Tại sao chúng lại phức tạp? Có lẽ lý do chính là hệ thống tinh xảo, đôi khi rất khó hiểu này cho phép Riemann đạt được một sự tổng hòa rất lớn và tuyệt vời tinh hoa âm nhạc truyền thống và hiện đại trong âm nhạc cuối thế kỉ 19. Có vẻ như những Hợp âm được chuyển đổi có thể được diễn giải thông qua những thuật ngữ truyền thống là I-IV-V-I, hay thuật ngữ hiện nay là T-S-D-T, một lược đồ Kết. Một chuỗi hợp âm A♭-trưởng, B♭-trưởng và C- trưởng, ví dụ, có thể được diễn giải rõ ràng như một Âm hạ át (sP) đến Âm át (dP) đến Chủ âm (T)trong Đô-trưởng, việc đọc những Hợp âm này là không thể nếu không có những Kết của giai đoạn cuối Roman. Và một hợp âm thường gây nhiều lúng túng cho các sinh viên trong việc hòa âm, Hợp âm Neapolitan D♭ trưởng trong một Giọng Đô-trưởng, không là gì khác hơn một Âm hạ át Điệu thức thứ Leittonwechselklang (sL).

— Carl Dahlhaus^[15]

Vòng tròn quãng 5

Một học thuyết khác liên quan đến công năng hòa âm là sự nối tiếp được giải thích bằng vòng tròn bậc 5(circle of fifths)(Tại đó, vì vậy, bậc II của âm giai thì gần âm át hơn so với bậc IV). Theo tác phẩm Harmony in Western Music của Goldman, Thật sự thì Hợp âm IV có một cấu tạo đơn giản nhất trong mối quan hệ diatonic, cách một quãng lớn so với Hợp âm I. Trong vòng tròn bậc 5, nó đi xa ra hơn là hướng về Hợp âm I. Vì vậy vòng I–ii–V–I sẽ phù hợp hơn với lý luận về Chủ âm. Tuy nhiên, Goldman, cũng như Jean-Jacques Nattiez, chỉ ra rằng Hợp âm bậc 4 xuất hiện trước khá lâu so với Hợp âm bậc 2 và cuối cùng là Hợp âm I, trong chuỗi I–IV–viio–iii–vi–ii–V–I." Goldman cũng nói rằng, Truyền thống sử dụng Hợp âm IV trong việc hòa âm, và đặc biệt trong Kết, đặt ra nhiều câu hỏi. Một người có thể nói rằng việc sử dụng Hợp âm IV trong những Kết cuối trở nên ngày càng phổ biến vào thế kỉ 19 so với thế kỉ 18, nhưng nó cũng có thể được hiểu như là một sự thay thế cho Hợp âm ii khi đứng trước Hợp âm V. Nó cũng có thể được hiểu một cách hợp lý như một Hợp âm ii⁷  "thiếu" (lacking root)." Tuy nhiên, Nattiezgọi điều này là, một lối thoát hẹp: chỉ lý thuyết về một Hợp âm ii không có nốt chủ(root) cho phép Goldman duy trì vòng tròn bậc 5 một cách hoàn toàn có giá trị từ Bach đến Wagner." 

Sự chủ âm hóa và Sự chuyển giọng

Những công năng trong suốt hay sau quá trình chuyển giọng, và đặc biệt là sự chủ âm hóa luôn được ghi chú trong mối quan hệ với công năng-trong Điệu tính gốc- của hợp âm được chủ âm hóa. Ví dụ, trong Đô trưởng, một hợp âm Rê trưởng được ghi chú là II, nhưng trong suốt quá trình chủ âm hóa của Hợp âm Sol trưởng, nó sẽ được ghi chú đúng với công năng nó đảm nhiệm nhưng với Sol cũng được ghi chú như là Âm át của Đô trưởng. Ghi chú chuẩn trong trường hợp này là V/V(năm của năm). Ví dụ: vòng lặp 12 ô nhịp blues(twelve bar blues turnaround), I–V–IV–I, được cho là không thể chấp nhận được về mặt Giọng điệu, có thể được diễn giải như là một Kết plagal được lặp lại hai lần, IV/V–V–IV–I (IV/V–I/V, IV/I–I/I).

Các tính chất của công năng

Từ góc độ về cấu trúc hay tính chất của âm nhạc, có 3 công năng cơ bản:

3 công năng cơ bản

Chord	Inversion
Chủ âm	I
Âm át	V
	vii
Âm tiền át	IV
	ii

Những công năng dùng để hỗ trợ cho Chủ âm và Âm át được liệt kê bên dưới:

• Âm tiền át
• Âm thay thế hay mở rộng của Chủ âm

Âm át, âm tiền át và âm thay thế chủ âm thì nhiều hơn một bậc trong âm giai với việc chủ âm và âm hạ át chứa chỉ một bậc của âm giai. Nhiều bậc trong âm giai có những công năng khác nhau.

Chủ âm thì gồm 4 vai trò sau đây:

• Tông chính
• Tông đầu tiên
• Tạo ra những tông khác, và
• Đóng vai trò trung tâm để trung hòa sự gay gắt giữa âm át và âm hạ át, khi âm át khi mà âm át chỉ đóng một vai trò duy nhất là tạo ra những biến đổi đột ngột cái mà cần đến Chủ âm hay tông chính trung hòa lại.

Âm hạ át cũng đóng vai trò như một âm tiền át. Một âm mở rộng Chủ âm là một sự đi sâu hơn của một tông ban đầu trong khi âm thay thế Chủ âm là một sự lựa chọn của một điểm Kết hay tông chính. Rất nhiều trong số những công năng này âm nhạc hậu Chủ âm.

Tham khảo

1. “Harmonic Functions”. Open Music Theory. Bản gốc lưu trữ ngày 13 tháng 9 năm 2021. Truy cập ngày 7 tháng 5 năm 2021.
2. Alexander Rehding, Hugo Riemann and the Birth of Modern Musical Thought, New York, Cambridge University Press, 2003, p. 17
3. Hugo Riemann, Handbuch der Harmonielehre, 6th edn, Leipzig, Breitkopf und Härtel, 1917, p. 214. See A. Rehding, Hugo Riemann and the Birth of Modern Musical Thought, p. 51.
4. Robert E. Wason, Viennese Harmonic Theory from Albrecthsberger to Schenker and Schoenberg (Ann Arbor, London, 1985) ISBN 978-0-8357-1586-7, pp. xi-xiii and passim.
5. Arnold Schoenberg, Structural Functions of Harmony, Williams and Norgate, 1954; Revised edition edited by Leonard Stein, Ernest Benn, 1969. Paperback edition, London, Faber and Faber, 1983. ISBN 978-0-571-13000-9.
6. Matthew Shirlaw, The Theory of Harmony, London, Novello, [1917], p. 116, writes that "In the course of the second, third, and fourth books of the Traité, [...] Rameau throws out a number of observations respecting the nature and functions of chords, which raise questions of the utmost importance for the theory of harmony". See also p. 201 (about harmonic functions in Rameau's Génération harmonique).
7. Anne-Emmanuelle Ceulemans, Les conceptions fonctionnelles de l'harmonie de J.-Ph. Rameau, Fr. J. Fétis, S. Sechter et H. Riemann, Master Degree Thesis, Catholic University of Louvain, 1989, p. 3.
8. Hugo Riemann, Harmony Simplified or the Theory of Tonal Functions of Chords, London and New York, 1893.
9. M. Hauptmann, Die Natur der Harmonik und der Metrik, Leipzig, 1853. Hauptmann saw the tonic chord as the expression of unity, its relation to the dominant and the subdominant as embodying an opposition to unity, and their synthesis in the return to the tonic. See David Kopp, Chromatic Transformations in Nineteenth-Century Music, Cambridge University Press, 2002, p. 52.
10. ^ Dahlhaus, Carl (1990). "A Guide to the Terminology of German Harmony", Studies in the Origin of Harmonic Tonality, trans. Gjerdingen, Robert O. (1990). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09135-8.
11. Hermann Grabner, Die Funktionstheorie Hugo Riemanns und ihre Bedeutung für die praktische Analyse, Munich 1923, and Handbuch der funktionellen Harmonielehre, Berlin 1944. ISBN 978-3-7649-2112-5.
12. See Wilhelm Maler, Beitrag zur durmolltonalen Harmonielehre, München, Leipzig, 1931, or Diether de la Motte, Harmonielehre, Kassel, Bärenreiter, 1976.
13. Vincent d'Indy, Cours de composition musicale, Paris, Durand, 1903, cited from the 6th edition, 1912, p. 116:

    1. il n'y a qu' un seul accord, l'Accord parfait, seul consonnant, parce que, seul il donne la sensation de repos ou d'équilibre;
    2. l'Accord se manifeste sous deux aspects différents, l'aspect majeur et l'aspect mineur, suivant qu'il est engendré du grave à l'aigu ou de l'aigu au grave.
    3. l'Accord est susceptible de revêtir trois fonctions tonales différentes, suivant qu'il est Tonique, Dominante ou Sous-dominante.

    Translated (with some adaptation) in Jean-Jacques Nattiez, Music and Discourse. Toward a Semiology of Music, C. Abbate transl., Princeton, Princeton University Press, 1990, p. 224. Nattiez (or his translator, the quotation is not in the French edition) removed d'Indy's dualist idea according to which the chords are built from a major and a minor thirds, the major chord from bottom to top, the minor chord the other way around.
14. Robert E. Wason, Viennese Harmonic Theory, p. xii.
15. Gjerdingen (1990), p.xiii-xiv.