Lưới (nhóm)

Một lưới trong mặt phẳng Euclid.

Bài này nói về lưới trong lý thuyết nhóm giao hoán. Nó không nên bị nhầm lẫn với Lưới (toán học).

Trong hình học và lý thuyết nhóm, một lưới trong ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ là một tập hợp gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính nguyên của một số hữu hạn các véc-tơ độc lập tuyến tính cho trước.^[1] Thông thường, người ta yêu cầu một lưới phải đầy đủ số chiều, tức là các véc-tơ độc lập tuyến tính trên tạo thành một cơ sở của ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Ví dụ

Một ví dụ đơn giản về lưới trong ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ là nhóm con ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$.

Đối thể tích

Một lưới ${\displaystyle \Lambda }$ trong ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ có dạng

${\displaystyle \Lambda =\left\{\left.\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\;\right\vert \;a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$

trong đó {v₁,..., v_n } là một cơ sở của ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Ta có thể chọn nhiều cơ sở khác nhau, nhưng trị tuyệt đối của định thức của các véc-tơ v_i được xác định duy nhất bởi lưới và được ký hiệu là d(Λ). Coi như lưới ${\displaystyle \Lambda }$ chia ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ thành các khối đa diện bằng nhau (các bản sao của một hình bình hành n chiều, được gọi là miền cơ bản của lưới), thế thì d(Λ) bằng với thể tích n chiều của khối đa diện này. d(Λ) được gọi là đối thể tích của lưới trên. Nếu giá trị này bằng 1, lưới được gọi là đơn mo-đu-la.

Liên hệ với cấu trúc tinh thể

Một mạng tinh thể là một lưới trong không gian ba chiều. Một ô đơn vị là một cách chọn các véc-tơ cơ sở, và hệ tinh thể của mạng là nhóm đối xứng của lưới này.

Tham khảo

1. Trần Quang Khoát. “Xấp xỉ bài toán RSIVP và MISP với bội số giả đa thức là NP-hard” (PDF).

• John Conway, Neil J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, 1998, ISBN 978-0-387-98585-5

Liên kết ngoài

• Danh mục lưới (của Nebe và Sloane)