Mô đun cắt

Mô đun cắt
Ký hiệu thường gặp	G
Đơn vị SI	pascal
Liên hệ với các đại lượng khác	G = τ / γ

Mô đun cắt hay Modul ngang (Shear modulus), Modul trượt, Modul độ cứng (modulus of rigidity), ký hiệu thường gặp là G, đôi khi ký hiệu là S hoặc μ, trong khoa học vật liệu được định nghĩa là tỉ số của ứng suất cắt với các biến dạng trượt:^[1]

Biến dạng trượt.

${\displaystyle G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}}$

trong đó

${\displaystyle \tau _{xy}=F/A\,}$ = Ứng suất cắt;

${\displaystyle F}$ là lực tác động

${\displaystyle A}$ là diện tích chịu tác động

trong vùng tác động: ${\displaystyle \gamma _{xy}=\Delta x/l=\tan \theta \,}$ = Biến dạng trượt. Ở những nơi khác: ${\displaystyle \gamma _{xy}=\theta }$

${\displaystyle \Delta x}$ là độ dịch chuyển ngang

${\displaystyle l}$ là độ dài ban đầu.

Đơn vị tính của Modul ngang trong hệ SI là pascal (Pa), và thường được có đơn vị là megapascal (MPa), gigapascal (GPa) hoặc kilopound trên inch vuông (ksi). Modul ngang luôn luôn mang giá trị dương, có thứ nguyên là M¹L⁻¹T⁻².

Vật liệu	Giá trị điển hình của mô dun cắt (GPa) (ở nhiệt độ phòng)
Kim cương[2]	478,0
Thép[3]	79,3
Đồng[4]	44,7
Titani[3]	41,4
Thủy tinh[3]	26,2
Nhôm[3]	25,5
Polyethylen[3]	0,117
Cao su[5]	0,0006

Giải thích

Module cắt là một trong số đại lượng để đo độ cứng của vật liệu. Tất cả chúng phát sinh theo Định luật Hooke tổng quát:

• Mô đun Young mô tả phản ứng của vật liệu trước lực căng dọc một trục (như kéo ở một đầu của một sợi dây, hoặc đặt một vật nặng lên đỉnh một cột)
• Mô đun khối mô tả phản ứng của vật liệu trước áp lực đẳng áp (như áp lực ở đáy đại dương hoặc hồ bơi sâu)
• Mô đun cắt mô tả phản ứng của vật liệu trước lực đẩy ngang (như cắt bằng kéo cùn).

Mô đun cắt có liên quan với sự biến dạng của một chất rắn khi chịu tác động một lực song song với bề mặt này, trong khi mặt đối lập của nó chịu một lực đối lập (như ma sát). Trong trường hợp khối vật liệu có dạng giống như một hình lăng trụ chữ nhật, nó sẽ biến dạng thành một hình hộp.

Các vật liệu bất đẳng hướng như gỗ, giấy và cũng như về cơ bản là tất cả các tinh thể đơn lẻ, thể hiện các phản ứng khác nhau khi được thử nghiệm theo các hướng khác nhau. Khi đó có thể phải sử dụng biểu diễn ten xơ (tensor) toàn phần của các hằng số đàn hồi, chứ không phải là một giá trị vô hướng đơn nhất.

Các chất lưu là vật liệu không có mô đun cắt.

Các quá trình sóng

Trong môi trường chất rắn đồng nhất và đẳng hướng có hai loại sóng cơ học truyền qua được, là sóng dọc P (sóng áp suất) và sóng ngang S (sóng cắt). Tốc độ truyền của sóng ngang, ${\displaystyle (v_{s})}$ được xác định bởi mô đun cắt,

${\displaystyle v_{s}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}}$

trong đó

G là mô đun cắt,

${\displaystyle \rho }$ là mật độ của chất rắn.

Mô đun cắt của các kim loại

Xem thêm

• Hệ số Poisson
• Mô đun Young
• Mô đun khối
• Mô đun sóng P

Tham khảo

1. Shear modulus, G. Compendium of Chemical Terminology, 2nd ed. (the "Gold Book") (1997). Online corrected version: (2006)
2. McSkimin, H.J.; Andreatch, P. (1972). “Elastic Moduli of Diamond as a Function of Pressure and Temperature”. J. Appl. Phys. 43 (7): 2944–2948. Bibcode:1972JAP....43.2944M. doi:10.1063/1.1661636.
3. ^ Crandall, Dahl, Lardner (1959). An Introduction to the Mechanics of Solids. Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-013441-3.
4. “Material properties”. Bản gốc lưu trữ ngày 1 tháng 9 năm 2009. Truy cập ngày 14 tháng 3 năm 2015.
5. Spanos, Pete (2003). “Cure system effect on low temperature dynamic shear modulus of natural rubber”. Rubber World.

Liên kết ngoài

Công thức chuyển đổi
Vật liệu đàn hồi tuyến tính đẳng hướng đồng nhất có tính chất đàn hồi được xác định một cách độc nhất bởi bất cứ hai mô đun nào trong số này; do đó, nếu cho hai loại, bất cứ mô đun đàn hồi nào đều có thể được tính theo các công thức sau.
	${\displaystyle K=\,}$	${\displaystyle E=\,}$	${\displaystyle \lambda =\,}$	${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle \nu =\,}$	${\displaystyle M=\,}$	Chú thích
${\displaystyle (K,\,E)}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$
${\displaystyle (K,\,\lambda )}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$
${\displaystyle (K,\,G)}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$
${\displaystyle (K,\,\nu )}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$
${\displaystyle (K,\,M)}$	${\displaystyle K}$	${\displaystyle {\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3(M-K)}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}$	${\displaystyle M}$
${\displaystyle (E,\,\lambda )}$	${\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}}$	${\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}$
${\displaystyle (E,\,G)}$	${\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$
${\displaystyle (E,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$
${\displaystyle (E,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3M+E-S}{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}}$	${\displaystyle M}$	${\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ Có hai nghiệm hợp lệ. Dấu cộng dẫn đến ${\displaystyle \nu \geq 0}$. Dấu trừ dẫn đến ${\displaystyle \nu \leq 0}$.
${\displaystyle (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\displaystyle \lambda +2G\,}$
${\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	Không thể sử dụng khi ${\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0}$
${\displaystyle (\lambda ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}}$	${\displaystyle M}$
${\displaystyle (G,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$
${\displaystyle (G,\,M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}$	${\displaystyle M-2G\,}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$	${\displaystyle M}$
${\displaystyle (\nu ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle M}$