Ma trận hiệp phương sai

Ma trận hiệp phương sai của tập hợp m biến ngẫu nhiên là một ma trận vuông hạng (m × m), trong đó các phần tử nằm trên đường chéo (từ trái sang phải, từ trên xuống dưới) lần lượt là phương sai tương ứng của các biến này (ta chú ý rằng Var(X) = Cov(X,X)), trong khi các phần tử còn lại (không nằm trên đường chéo) là các hiệp phương sai của đôi một hai biến ngẫu nhiên khác nhau trong tập hợp..

Định nghĩa

Ký hiệu X là một vector cột, X_i là các thành phần của vector này.

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{bmatrix}}}$

Nếu các thành phần của vector cột là các biến ngẫu nhiên có phương sai xác định (không quá lớn tới vô cực), thì ma trận hiệp phương sai (covariance matrix) Σ là một ma trận mà có thành phần (i, j) là hiệp phương sai (covariance):

${\displaystyle \Sigma _{ij}=\mathrm {cov} (X_{i},X_{j})=\mathrm {E} {\begin{bmatrix}(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})\end{bmatrix}}}$

trong đó

${\displaystyle \mu _{i}=\mathrm {E} (X_{i})\,}$

là giá trị kỳ vọng của thành phần thứ i của vector X. Nói cách khác, chúng ta có:

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{1}-\mu _{1})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{2}-\mu _{2})(X_{n}-\mu _{n})]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{1}-\mu _{1})]&\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{2}-\mu _{2})]&\cdots &\mathrm {E} [(X_{n}-\mu _{n})(X_{n}-\mu _{n})]\end{bmatrix}}.}$

Ma trận hiệp phương sai là khái niệm rất quan trọng trong kinh tế lượng và ước lượng mô hình.

Đọc thêm

• Weisstein, Eric W., "Covariance Matrix", MathWorld.
• van Kampen, N. G. (1981). Stochastic processes in physics and chemistry. New York: North-Holland. ISBN 0444862005.
• “Covariance matrix”. AI Access Glossary of data modeling.

Tham khảo