Phương trình đường thẳng

Một số khái niệm

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ ${\displaystyle {\vec {u}}\neq {\vec {0}}}$ và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với ${\displaystyle k\neq 0}$, vectơ ${\displaystyle k{\vec {u}}}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ ${\displaystyle {\vec {n}}\neq {\vec {0}}}$ và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với ${\displaystyle k\neq 0}$, vectơ ${\displaystyle k{\vec {n}}}$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ ${\displaystyle Oxy}$, đường thẳng ${\displaystyle d}$ có vectơ chỉ phương ${\displaystyle {\vec {a}}=(a,b)}$ thì có vectơ pháp tuyến là ${\displaystyle {\vec {n}}=(-b,a)}$ hay ${\displaystyle {\vec {n}}=(b,-a)}$. Ngược lại, đường thẳng ${\displaystyle d}$ có vectơ pháp tuyến ${\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}$ thì có vectơ chỉ phương là ${\displaystyle {\vec {a}}=(-b,a)}$ hay ${\displaystyle {\vec {a}}=(b,-a)}$

Trong không gian với hệ trục tọa độ ${\displaystyle Oxyz}$, đường thẳng ${\displaystyle d}$ có vectơ ${\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})}$ và vectơ ${\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})}$ là 2 vectơ pháp tuyến không cùng phương thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa ${\displaystyle {\vec {n_{1}}}}$ với ${\displaystyle {\vec {n_{2}}}}$ hoặc giữa ${\displaystyle {\vec {n_{2}}}}$ với ${\displaystyle {\vec {n_{1}}}}$.

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Dạng tham số

Trong mặt phẳng tọa độ ${\displaystyle Oxy}$, cho đường thẳng ${\displaystyle d}$ đi qua điểm ${\displaystyle M(x_{0},y_{0})}$ và nhận ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})}$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của ${\displaystyle d}$ là${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\end{cases}}}$ với ${\displaystyle t}$ được gọi là tham số. Với mỗi giá trị ${\displaystyle t\in R}$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu ${\displaystyle u_{1}\neq 0}$ và ${\displaystyle u_{2}\neq 0}$, từ phương trình tham số ta khử tham số ${\displaystyle t}$, ta được phương trình chính tắc ${\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}}$.

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc.

Dạng tổng quát

Phương trình ${\displaystyle ax+by+c=0}$ với ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0}$ được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó ${\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệt

Đường thẳng ${\displaystyle by+c=0}$ ${\displaystyle (a=0)}$ vuông góc với trục ${\displaystyle Oy}$ tại điểm ${\displaystyle A(0;-{c \over b})}$.

Đường thẳng ${\displaystyle ax+c=0}$ ${\displaystyle (b=0)}$ vuông góc với trục ${\displaystyle Ox}$ tại điểm ${\displaystyle B(-{c \over a};0)}$.

Đường thẳng ${\displaystyle ax+by=0}$ ${\displaystyle (c=0)}$ đi qua gốc tọa độ ${\displaystyle O(0;0)}$.

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng đi qua 2 điểm ${\displaystyle A(x_{0};0)}$ (${\displaystyle x_{0}\neq 0}$) và ${\displaystyle B(0;y_{0})}$ (${\displaystyle y_{0}\neq 0}$) thì có thể được viết dưới dạng phương trình ${\displaystyle {x \over x_{0}}+{y \over y_{0}}=1}$.

Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng ${\displaystyle d}$ cắt trục ${\displaystyle Ox}$ tại ${\displaystyle M}$ và tia ${\displaystyle Mt}$ là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục ${\displaystyle Ox}$ mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia ${\displaystyle Mt}$ hợp với tia ${\displaystyle Mx}$ một góc ${\displaystyle \alpha }$. Đặt ${\displaystyle k=\tan \alpha }$, khi đó ${\displaystyle k}$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng ${\displaystyle d}$.

Đường thẳng có vecto chỉ phương ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2})}$ thì có hệ số góc ${\displaystyle k={u_{2} \over u_{1}}}$.

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến ${\displaystyle {\vec {n}}=(a,b)}$ thì có hệ số góc ${\displaystyle k=-{a \over b}}$.

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là ${\displaystyle -1}$.

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho 2 đường thẳng: ${\displaystyle (D)}$ ${\displaystyle Ax+By+C=0}$ và ${\displaystyle (d)}$ ${\displaystyle ax+by+c=0}$.

${\displaystyle (D)}$ cắt ${\displaystyle (d)}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {A \over a}\neq {B \over b}}$ khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình ${\displaystyle {\begin{cases}Ax+By+C=0\\ax+by+c=0\end{cases}}}$

${\displaystyle (D)}$ ${\displaystyle //}$ ${\displaystyle (d)}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {A \over a}={B \over b}\neq {C \over c}}$

${\displaystyle (D)}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle (d)}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle A:B:C=a:b:c}$

Góc giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng ${\displaystyle (D)}$ và ${\displaystyle (d)}$ cắt nhau tại điểm ${\displaystyle M}$. Gọi ${\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1})}$ là vectơ pháp tuyến của ${\displaystyle (D)}$ và ${\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2})}$ là vectơ pháp tuyến của ${\displaystyle (d)}$. Gọi ${\displaystyle \alpha }$ là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó:

${\displaystyle \cos \alpha ={\left\vert {\vec {n_{1}}}.{\vec {n_{2}}}\right\vert \over \left\vert {\vec {n_{1}}}\right\vert \left\vert {\vec {n_{2}}}\right\vert }={\left\vert A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}\right\vert \over {\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2})}}}}$

2 đường thẳng vuông góc thì ${\displaystyle \alpha =90^{\circ }}$.

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì ${\displaystyle \alpha =0^{\circ }}$.

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương.

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng ${\displaystyle (d)}$ ${\displaystyle ax+by+c=0}$ và ${\displaystyle M(x_{0},y_{0})\not \in (d)}$, khoảng cách từ điểm ${\displaystyle M}$ đến ${\displaystyle (d)}$ được tính theo công thức ${\displaystyle d(M,d)={\frac {\left\vert ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng

Cho đường thẳng ${\displaystyle (d)}$ ${\displaystyle ax+by+c=0}$ và 2 điểm ${\displaystyle M(x_{M},y_{M})}$, ${\displaystyle N(x_{N},y_{N})}$ không nằm trên ${\displaystyle (d)}$. Xét các biểu thức ${\displaystyle m=ax_{M}+by_{M}+c}$ và ${\displaystyle n=ax_{N}+by_{N}+c}$, khi đó ${\displaystyle M}$ và ${\displaystyle N}$ nằm cùng phía với ${\displaystyle (d)}$ khi ${\displaystyle m}$ và ${\displaystyle n}$ cùng dấu, khác phía khi ${\displaystyle m}$ và ${\displaystyle n}$ trái dấu.

Phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng tham số

Trong không gian với hệ trục tọa độ ${\displaystyle Oxyz}$, cho đường thẳng ${\displaystyle d}$ đi qua điểm ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$ và nhận ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của ${\displaystyle d}$ là ${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\\z=z_{0}+u_{3}t\end{cases}}}$ với ${\displaystyle t}$ được gọi là tham số. Với mỗi giá trị ${\displaystyle t\in R}$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu cả ${\displaystyle u_{1}}$, ${\displaystyle u_{2}}$, ${\displaystyle u_{3}}$ đều khác ${\displaystyle 0}$, từ phương trình tham số ta khử tham số ${\displaystyle t}$, ta được phương trình chính tắc: ${\displaystyle {x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}={z-z_{0} \over u_{3}}}$

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng ${\displaystyle (d)}$ có vectơ chỉ phương ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ và ${\displaystyle (d')}$ có vectơ chỉ phương ${\displaystyle {\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})}$. Gọi ${\displaystyle M(x,y,z)}$ là một điểm nằm trên ${\displaystyle (d)}$ và ${\displaystyle M'(x',y',z')}$ là một điểm nằm trên ${\displaystyle (d')}$. Ta có:

${\displaystyle (d)\equiv (d')}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]=[{\vec {u}},{\vec {MM'}}]={\vec {0}}}$

${\displaystyle (d)//(d')}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {u'}}]={\vec {0}}}$ và ${\displaystyle [{\vec {u}},{\vec {MM'}}]\neq {\vec {0}}}$

${\displaystyle (d)}$ cắt ${\displaystyle (d')}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\begin{cases}[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq {\vec {0}}\\{\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]=0\end{cases}}}$

${\displaystyle (d)}$ và ${\displaystyle (d')}$ chéo nhau ${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle {\vec {MM'}}.[{\vec {u}};{\vec {u'}}]\neq 0}$

Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng ${\displaystyle (d)}$ đi qua điểm ${\displaystyle M_{0}}$ và có vectơ chỉ phương ${\displaystyle {\vec {u}}}$. Khoảng cách từ điểm ${\displaystyle M}$ đến ${\displaystyle (d)}$ là ${\displaystyle d[M,(d)]={\left\vert [{\vec {M_{0}M}},{\vec {u}}]\right\vert \over \left\vert {\vec {u}}\right\vert }}$

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cho 2 đường thẳng chéo nhau ${\displaystyle (d)}$ và ${\displaystyle (d')}$. Đường thẳng ${\displaystyle (d)}$ có vectơ chỉ phương ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$ và đường thẳng ${\displaystyle (d')}$ có vectơ chỉ phương ${\displaystyle {\vec {u'}}=(u'_{1},u'_{2},u'_{3})}$. Gọi ${\displaystyle M(x,y,z)}$ là một điểm nằm trên ${\displaystyle (d)}$ và ${\displaystyle M'(x',y',z')}$ là một điểm nằm trên ${\displaystyle (d')}$. Khi đó khoảng cách giữa ${\displaystyle (d)}$ và ${\displaystyle (d')}$ là

${\displaystyle d[(d),(d')]={\left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}].{\vec {MM'}}\right\vert \over \left\vert [{\vec {u}},{\vec {u'}}]\right\vert }}$

Xem thêm

Đường thẳng

Liên kết ngoài

1. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
2. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
3. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12
4. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao