Số Pythagoras

Trong toán học, số Pythagoras hoặc giảm chiều cao của một trường (đại số) mô tả cấu trúc của tập hợp các ô vuông trong trường. Số Pythagoras p(K) của một trường K là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho mỗi ô vuông trong K là tổng của ô p.

Trường Pythagore là một trường với Pythagoras số 1: có nghĩa là mọi ô vuông đều là hình vuông.

Ví dụ

• Mỗi số thực dương là một hình vuông, vì vậy p(R) = 1.
• Đối với một trường hữu hạn có tính chất kỳ quặc, không phải mọi phần tử đều là hình vuông, nhưng tất cả đều là tổng của hai ô vuông,^[1] nên p  = 2.
• Theo định lý 4 ô vuông của Lagrange, mỗi số hợp lý là tổng của bốn ô vuông, và không phải là tổng của ba ô vuông, do đó, p (Q) = 4.

Tính chất

• Mỗi số nguyên dương xuất hiện như số Pythagoras của một số trường thực sự chính thức.^[2]
• Các số Pythagoras có liên quan đến Stufe bằng p(F) ≤ s(F) + 1.^[3] Nếu F không phải số thực thì s(F) ≤ p(F) ≤ s(F) + 1,^[4] và cả hai trường hợp đều có thể: cho F = C chúng ta có s = p = 1, trong khi F = F₅ chúng ta lại có s = 1, p = 2.^[5]
• Số Pythagoras có liên quan đến chiều cao của trường F: nếu F là số thực thì h (F) là công suất nhỏ nhất của 2 không nhỏ hơn p (F); nếu F không là số thực thì h (F) = 2 s (F).^[6] Do đó, số Pythagoras của một trường không thực sự chính thức, nếu hữu hạn, hoặc là một sức mạnh của 2 hoặc 1 ít hơn một sức mạnh của 2, và tất cả các trường hợp xảy ra.^[7]

Ghi chú

1. Lam (2005) p. 36
2. Lam (2005) p. 398
3. Rajwade (1993) p. 44
4. Rajwade (1993) p. 228
5. Rajwade (1993) p. 261
6. Lam (2005) p. 395
7. Lam (2005) p. 396

Tham khảo

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Nghiên cứu về Toán học. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.