Keëlsnit

Tipes keëlsnitte

In wiskunde is 'n keëlsnit 'n kromme wat gevorm word deur die snyding van 'n keël (meer nougeset 'n regsirkulêre keëloppervlak) met 'n vlak. Keëlsnitte sluit in sirkels, ellipse, parabole en hiperbole. Keëlsnitte is solank terug as 200 v.C. bestudeer toe Apollonius van Perga 'n stelselmatige studie oor hulle eienskappe onderneem het. Hoewel die Grieke reeds van die optiese eienskappe van die krommes ontdek het word dit egter eers teen die 16de eeu buite optika toegepas toe Johannes Kepler ontdek het dat planete in elliptiese wentelbane om die son beweeg en Galileo bewys het dat projektielbeweging parabolies is. Die keëlsnitte het almal unieke weerkaatsingseienskappe waarvan veral die van die parabool belangrik is vir satellietskottels, teleskope en by beligting. Parabole, ellipse, sirkels en hiperbole word ook as gevolg van estetiese en strukturele eienskappe algemeen in boukuns gebruik in byvoorbeeld hiperboloïde water- en verkoeltorings of die paraboliese boë van die Asphalt Green Aquacenter in New York.

Tipes keëlsnitte

Verskillende krommes word gevorm afhangende van die hoek waarteen die snyding plaasvind. Sirkels en ellipse is van die bekendste voorbeelde van keëlsnitte en word gevorm wanneer die snydingshoek van 'n keël en 'n vlak sodanig is dat die vlak slegs deur een helfte van 'n dubbelkeël gaan en dus 'n geslote kromme vorm. 'n Sirkel is 'n spesiale geval van 'n ellips waar die vlak reghoekig tot die keëlas is. As die vlak parallel is aan 'n generator lyn van die keël word 'n parabool gevorm wat 'n oop kromme is. 'n Hiperbool word gevorm as die snydingshoek veroorsaak dat die vlak deur beide dele van 'n dubbekkeël gaan om 'n twee oop krommes te vorm.

Ontaarde gevalle

Die ontaarde gevalle waar die vlak deur die toppunt van die keël gaan of waar die keël self ontaard is word gewoonlik nie ingesluit by die keëlsnitte nie.

In die geval waar die vlak deur die toppunt gaan word 'n punt, 'n reguit lyn, of 'n paar kruisende lyne gevorm.

Die keël self kan ontaard wees as die hoek wat die keël genereer of 0° of 90° is. As die hoek 90° is beslaan die binnekant van die keël alle driedimensionele ruimte en is die buitekant van die keël die vlak wat deur die toppunt van die keël gaan en reghoekig tot die keël se as is. Dieselfde vlak kan die snydingsvlak wees wat dan die hele vlak as snyding lewer. Alle ander snydings is 'n reguit lyn. As die keël se generatorhoek daarteenoor 0° is, en die snydingsvlak is parallel aan (maar nie op) die keëlas, is die snyding nul.

Wiskundige beskrywing van keëlsnitte

Keëlsnitte as puntlokusse

Elke tipe keëlsnit kan gedefinieer word as die lokus van alle punte P met 'n sekere eienskap:

• Sirkel: ${\displaystyle dist(P,C)=r}$, waar C 'n vaste punt (die middelpunt) is, en r 'n vaste konstante (die radius) is.
• Parabool: ${\displaystyle dist(P,F)=dist(P,L)}$, waar F 'n vaste punt (die brandpunt) is, en L 'n vaste lyn (die direktriks of riglyn) is wat F nie bevat nie.
• Ellips: ${\displaystyle dist(P,A)+dist(P,B)=d}$, waar A,B verskillende vaste punte (die brandpunte) is, en ${\displaystyle d>dist(A,B)}$ 'n vaste konstante (die hoof diameter) is.
• Hiperbool: ${\displaystyle |dist(P,A)-dist(P,B)|=d}$, waar A,B verskillende vaste punte (die brandpunte) is, en ${\displaystyle d<dist(A,B)}$ 'n vaste konstante is.

In projeksiemeetkunde kan elkeen van die keëlsnitte gedefinieer word as die lokus van alle punte ewe ver van 'n vaste punt (die brandpunt) en 'n vaste kromme (die direktriks). Alle keëlsnitte het identiese eienskappe in projeksieruimte en elke stelling in projeksiemeetkunde wat vir een keëlsnit waar is, is waar vir alle ander.

Eksentrisiteit

Ellips (e=1/2), parabool (e=1) en hiperbool (e=2) met vaste brandpunt F en direktriks.

Die vier bostaande voorwaardes kan in een voorwaarde gekombineer word wat afhang van 'n vaste punt F (die brandpunt), 'n lyn L (die direktriks) wat F nie bevat nie en 'n nie-negatiewe reële getal e (die eksentrisiteit). Die ooreenstemmende keëlsnit bestaan uit alle punte waarvan die afstand na F gelyk is aan e maal die afstand na L. Vir 0 < e < 1 word 'n ellips verkry, vir e = 1 'n parabool, en vir e > 1 'n hiperbool.

Vir 'n ellips en 'n hiperbool kan twee brandpunt-direktriks kombinasies geneem word waar elkeen die selfde volle ellips of hiperbool verskaf. Die afstand van die middelpunt na die direktriks is ${\displaystyle {a} \over {e}}$, waar ${\displaystyle a}$ die halwe lengteas van die ellipse is, of die afstand van die middelpunt na die bopunte van die hiperbool. Die afstand van die middelpunt na 'n brandpunt is ${\displaystyle ae}$.

In die geval van 'n sirkel is e = 0 en kan mens jou voorstel dat die direktriks oneindig ver van die middelpunt is. Die stelling dat die sirkel uit alle punte bestaan waarvan die afstand e maal die afstand na L is, is nie nuttig nie aangesien dit nul keer oneindig lewer.

Die eksentrisiteit van 'n keëlsnit is dus 'n maatstaf van hoe ver dit van 'n sirkelvorm afwyk.

Vir 'n gegewe ${\displaystyle a}$, hoe nader ${\displaystyle e}$ is aan 1, hoe kleiner is die halfklein as.

Kartesiese koördinate

In die Kartesiese koördinaatstelsel is die grafiek van 'n kwadratiese vergelyking met twee veranderlikes altyd 'n keëlsnit, en alle keëlsnitte spruit hieruit voort. Die vergelyking sal die volgende vrom hê

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\;}$ met ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ nie almal nul nie.

Grafiese uitbeelding van die keëlsnitte

dan:

• as ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$, verteenwoordig die vergelyking 'n ellips (behalwe as die keël ontaard is, byvoorbeeld ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10=0}$);
  • as ${\displaystyle A=C}$ en ${\displaystyle B=0}$, verteenwoordig die vergelyking 'n sirkel;
• as ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$, verteenwoordig die vergelyking 'n parabool;
• as ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$, verteenwoordig die vergelyking 'n hiperbool;
  • as ${\displaystyle A+B=0}$ ook waar is, verteenwoordig die vergelyking 'n reghoekige hiperbool.

polinoom Let daarop dat A en B slegs veeltermige koëffisiënte is en nie die lengtes van half-hoof/klein as soos in die vorige afdelings gedefinieer nie.

Deur verandering van koördinate kan die vergelykings in standaardvorms geskryf word:

• Sirkel: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$
• Ellips: ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1}$
• Parabool: ${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$
• Hiperbool: ${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1}$

Sulke vorms sal simmetries om die x-as, en vir die sirkel, ellips en hiperbool ook simmetries om die y-as wees.

Die standaardvorme kan as parametriese vergelykings geskryf word,

• Sirkel: ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta )\,}$,
• Ellips: ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta )\,}$,
• Parabool: ${\displaystyle (at^{2},2at)\,}$,
• Hiperbool: ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta )\,}$ of ${\displaystyle (\pm a\cosh u,b\sinh u)\,}$.

Poolkoördinate

Semi-latus rectum in die geval van 'n ellips

Die semi-latus rectum van 'n keëlsnit, gewoonlik met l aangedui, is die afstand van die enkele brandpunt, of een van die twee brandpunte na die keëlsnit self gemeet langs 'n lyn reghoekig tot die hoof-as. Dit is verwant aan die halwe lengteas a, en die halwe breedteas b, deur die formula ${\displaystyle al=b^{2}}$, of ${\displaystyle l=a(1-e^{2})}$.

In poolkoördinate word 'n keëlsnit met een brandpunt by die oorsprong en, indien enige, die ander op die positiewe x-as, is gegee deur die vergelyking

${\displaystyle r={l \over (1-e\cos \theta )}}$.

Soos hierbo, vir e = 0, word 'n sirkel verkry, vir 0 < e < 1 'n ellipse, vir e = 1 'n parabool, en vir e > 1 'n hiperbool.

Dandelinsfere

Deur gebruik te maak van Dandelinsfere kan 'n kort elementêre argument gemaak word wat aantoon dat die karakterisering van die krommes as snydings van 'n hoek met 'n keël ekwivalent is aan die karakterisering in terme van brandpunte, of van 'n brandpunt en 'n direktriks.

Eienskappe, voorkoms en toepassings

Die Hiperboloïed Kobe Hawetoring, Kobe, Japan.

Weerkaatsingseienskappe

Die keëlsnitte het almal spesifieke unieke weerkaatsings eienskappe:

• In 'n Ellips word enige lig of ander sein wat by een brandpunt opgewek word na die ander brandpunt weerkaats. Die eienskap word gebruik in 'n fluistergewelf om iemand wat by een brandpunt staan toe te laat om 'n fluistergesprek met iemand by die ander brandpunt te hou. Die mediese prosedure litotripsie maak gebruik van die eienskap van ellipse om nierstene te behandel. In die prosedure word die pasiënt in 'n elliptiese watertenk geplaas met die niersteen by een brandpunt. Hoe-energie skokgolwe word dan by die ander brandpunt, wat buite die pasiënt se liggaam lê, opgewek. Die golwe word as gevolg van die ellips se weerkaatsings eienskappe op die niersteen gefokus om dit te vernietig.
• In 'n Parabool het die vermoë om as 'n spieël of ander weerkaatsings toestel lig of ander vorms van elektromagnetiesestraling op 'n gemene brandpunt te fokus. Die beginsel van 'n paraboliese weerkaatser is reeds in die 3de eeu v.C. deur Archimedes ontdek. Volgens oorlewering ^[1] het hy paraboliese spieëls gebruik om Syracuse teen die Romeinse vloot te verdedig deur die son se strale te konsentreer om die Romeinse skepe aan die brand te steek. Die beginsel is van die 17de eeu toegepas in teleskope. vandag word paraboliese weerkaatsers algemeen gebruik in mikrogolf antennas, satellietskottels ens. Dit word ook omgekeerd in beligting gebruik om 'n punt bron soos 'n gloeilamp se uitstraling in 'n nou bundel te fokus.
• In 'n Hiperbool word strale wat gerig is op die een brandpunt van die hiperbool by die ander brandpunt van 'n hiperboliese spieël weerkaats. As 'n mens dus byvoorbeeld 'n gloeilamp voor 'n hiperboliese weerkaatser plaas sal dit lyk asof dit van die ander brandpunt agter die weerkaatser skyn.

Sterrekunde

Keëlsnitte is belangrik in sterrekunde: die wentelbane van twee massiewe voorwerpe wat volgens Newton se wet van universele gravitasie met mekaar wisselwerk, is keëlsnitte as hulle gemene massamiddelpunt as stilstaande beskou word. As hulle aan mekaar verbind is sal beide ellipse aftrek; as hulle uit mekaar beweeg sal beide parabool- of hiperboolbane volg.

Projektielbeweging

Een van die bekendste voorbeelde van die parabool in die natuur is die trajek van 'n deeltjie of liggaam wat beweeg onder die invloed van 'n eenvormige gravitasieveld sonder lugweerstand (byvoorbeeld, 'n krieketbal wat deur die lug vlieg waar lugweerstand weggelaat word). Die paraboliese trajek van projektiele is eksperimenteel deur Galileo vroeg in die 17de eeu ontdek toe hy eksperimkente uitgevoer het met balle wat op hellende vlakke rol. Die paraboliese vorm van projektielbeweging is later wiskundig deur Isaac Newton bewys.

Argitektuur

Benewens die voorkoms van ellipse in fluistergewelwe word benaderings van parabole ook aangetref in die vorm van kabels van hangbrûe. Vryhangende kabels wat op die oog af soos parabole lyk beskryf nie parabole nie maar eerder kettinglyne. Onder die invloed van 'n eenvormige lading (soos 'n brugdek byvoorbeeld), word dit egter tot 'n parabool vervorm. Baie boë wat soos parabole lyk is eintlik eerder onderstebo kettinglyne wat gebruik word as gevolg van die strukturele voordele wat die vorm bied. Hiperbole kom veral in hiperboloïedstrukture soos hiperboliese dakke en torings voor.

Gladheid

Keëlsnitte is altyd "glad". Meer nougeset, hulle bevat nooit enige infleksiepunte nie. Dit is belangrik vir baie toepassings soos aërodinamika, waar 'n gladde oppervlak nodig is om laminêre vloei te verseker en om turbulensie te vermy.

Verwysings

1. Middleton, W. E. Knowles (1961). "Archimedes, Kircher, Buffon, and the Burning-Mirrors" (PDF). Isis. 52 (4): 533–543. Besoek op 8 Augustus 2006.