Kwaternioon

'n Kwaternioon is 'n hiperkomplekse getal wat bestaan uit vier dele. Dit is 'n uitbreiding van komplekse getalle sonder die eienskap van kommutatiwiteit. Hulle is eerste beskryf in 1843 deur Sir William Rowan Hamilton en toegepas in drie-dimensionele meganika. Aanvanklik is kwaternione gesien as problematies aangesien dit nie voldoen het aan die kommutatiewe wet nie, dit wil sê, ${\displaystyle ab\neq ba}$. Alhoewel hul gebruik in meeste velde vervang is met vektore, word dit steeds gebruik in teoretiese en toegepaste wiskunde, veral vir berekeninge wat rotasies in drie-dimensionele ruimte bevat, soos byvoorbeeld in drie-dimensionele rekenaargrafika.

Mens kan 'n kwaternioon beskou as 'n reële getal saam met drie imaginêre getalle of as 'n paar van twee komplekse getalle. In die eerste opvatting kan ons skryf:

${\displaystyle q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} }$

Dit maak 'n kwaternioon 'n vier-dimensionale objek.

Die drie imaginêre eenhede i, j en k het 'n selfde kwadraat: ${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=-1}$.

Komplekse getalle kan beskou word as 'n spesiale geval van kwaternione met twee van die konstante a,b of c gelyk nul. Die drie imaginêre eenhede i, j en k word gereeld saamgevoeg in 'n vektor q, maar kwaternione is ouer as vektore (die wiskunde van vektore is later ontwikkel uit kwaternione) en die vektor q is 'n polêre, nie 'n aksiale vektor nie.

Bewerkings

Die som of verskil van twee kwaternione is eenvoudig (en soortgelyk aan vektore):

${\displaystyle q_{1}=a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} }$

${\displaystyle q_{2}=a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} }$

${\displaystyle q_{1}+q_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\mathbf {k} }$

Die volgende stel vergelykings is die fundamentele aspekte van vermeningvuldigingsidentiteite vir kwaternione:

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,\,\!}$

waar i, j, en k imaginêre getalle is. Die vermenigvuldiging van basiskwaternione kan hieruit afgelei word:

${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=&k,&&&&ji&=&-k,\\jk&=&i,&&&&kj&=&-i,\\ki&=&j,&&&&ik&=&-j.\end{matrix}}}$

Byvoorbeeld, aangesien

${\displaystyle -1=ijk,\,\!}$

deur altwee kante aan die regterkant met k te vermenigvuldig, gee

${\displaystyle {\begin{matrix}-k&=&ijkk,\\&=&ij(-1),\\k&=&ij.\end{matrix}}\,\!}$

Die gevolg is dat vermenigvuldiging nie kommuteer nie: ${\displaystyle q_{1}q_{2}\neq q_{2}q_{1}}$

Toepassing in rekenaargrafika

Kwaternione het lank baie onbekend gebly, maar is nou in gebruik in programmatuur vir speletjies en vlugsimulasie. Draaiing in drie dimensies kan gemaklik beskryf word met kwaternione sonder die probleem wat Gimball lock genoem word. Dié probleem kan na vore kom as draaiing beskryf word met Euler-hoeke en kan die programmatuur laat faal. As mens met kwaternione 'n rotasie wil uitvoer moet eers die rotasie as (hkl) ingevoer word in die vektordeel van 'n kwaternioon:

${\displaystyle q_{rotasie}=0+h\mathbf {i} +k\mathbf {j} +l\mathbf {k} }$

Hierdie kwaternioon word genormaliseer deur te deel deur ${\displaystyle {\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}$.

${\displaystyle q_{rotasie}=0+\mathbf {q} =0+{\frac {h\mathbf {i} +k\mathbf {j} +l\mathbf {k} }{\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}}$

Die rotasiehoek α word rond die as (hkl) ingevoer deur die sinus en cosinus van die halwe hoek te neem en in te voeg in 'n uitdrukking wat analoog is aan die Euler-uitdrukking vir komplekse getalle:

${\displaystyle q_{rotasie^{\alpha }}=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {q} }$

Analoog aan komplekse getalle is daar 'n gekonjugeerde:

${\displaystyle q_{rotasie^{\alpha }}^{*}=\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {q} }$

'n Punt (xyz) in drie dimensies kan ook geskryf word as 'n ('suiwer') kwaternioon:

${\displaystyle q_{punt}=0+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }$

Die punt kan gedraai word deur die vermenigvuldiging:

${\displaystyle q'_{punt}=q_{rotasie}\times q_{punt}\times q_{rotasie}^{*}}$

Die resultaat ${\displaystyle q'_{punt}}$ is 'n punt in drie en nie vier dimensies nie: ${\displaystyle q'_{punt}=0+x'\mathbf {i} +y'\mathbf {j} +z'\mathbf {k} }$ en is ook 'n suiwere kwaternioon met a=0 (of in 'n rekenaar 'n afrondingsgetal soos 10^-14). Mens kan die draaiing in drie dimensies sien as twee spieëlinge wat die punt in en weer uit die vierde dimensie bring.