Emmy Noether

Emmy Noether
Vida
Nacimientu	Erlangen[1], 23 de marzu de 1882[2]
Nacionalidá	Reinu de Baviera
Grupu étnicu	pueblu xudíu
Muerte	Bryn Mawr ^(es) [3], 14 d'abril de 1935[1] (53 años)
Sepultura	Old Library ^(en) [4]
Causa de la muerte	causes naturales
Familia
Padre	Max Noether
Casada con	ensin valor
Hermanos/es	Fritz Noether Alfred Noether
Familia	ver Gottfried E. Noether (sobrín) Herman D. Noether ^(en) (sobrín)
Estudios
Estudios	Universidá de Heidelberg Universidá de Göttingen Universidá d'Erlangen-Núremberg (1900 - 1907) doctoráu : matemátiques
Nivel d'estudios	doctoráu habilitación universitaria ^(es)
Tesis	Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form
Direutor de tesis	Paul Gordan
Direutora de tesis de	Max Deuring Hans Fitting Grete Hermann Zeng Jiongzhi ^(es) Jacob Levitzki Otto Schilling Ernst Witt Heinrich Grell Wilhelm Dörate Ludwig Schwarz Ruth Stauffer Werner Vorbeck Werner Weber Wolfgang Wichmann Wilhelm Dörate ^(en) Ludwig Schwarz ^(en)
Llingües falaes	inglés francés alemán[5]
Profesora de	Bartel Leendert van der Waerden
Oficiu	matemática, física, profesora universitaria
Emplegadores	Universidá d'Erlangen-Núremberg Universidá de Göttingen  (1915 –  1933) Bryn Mawr College  (1933 –  1935)
Trabayos destacaos	teorema de Noether ^(es)
Premios	ver Ackermann-Teubner-Gedächtnispreis  (1932)
Miembru de	Circolo Matematico di Palermo ^(en) Deutsche Mathematiker-Vereinigung ^(es)
Creencies
Partíu políticu	Partíu Socialdemócrata d'Alemaña (de 1922 a 1924) Partíu Socialdemócrata Independiente d'Alemaña (de 1919 a 1922)[6]

Emmy Noether (23 de marzu de 1882, Erlangen – 14 d'abril de 1935, Bryn Mawr ^(es) ) foi una matemática, xudía, alemana de nacencia, conocida poles sos contribuciones de fundamental importancia nos campos de la física teórica y el álxebra astracta. Considerada por David Hilbert, Albert Einstein y otros personaxes como la muyer más importante na historia de la matemática,^[7][8] revolucionó les teoríes d'aniellos, cuerpos y álxebres. En física, el teorema de Noether esplica la conexón fundamental ente la simetría en física y les ley de caltenimientu.^[9]

Nació nuna familia xudía na ciudá bávara d'Erlangen; el so padre yera'l matemáticu Max Noether. Emmy orixinalmente pensó n'enseñar francés ya inglés n'aprobando los exámenes riquíos pa ello, pero nel so llugar estudió matemátiques na Universidá de Erlangen-Núremberg, onde'l so padre impartía clases. En defendiendo'l so tesis so la supervisión de Paul Gordan, trabayó nel Institutu Matemáticu de Erlangen ensin percibir retribuciones mientres siete años. En 1915 foi convidada por David Hilbert y Felix Klein a entrar nel departamentu de matemátiques de la Universidá de Gotinga, que nesi momentu yera un centru d'investigación matemática de fama mundial. La facultá de filosofía, sicasí, punxo oxeciones al so puestu y por ello pasó cuatro años dando clases en nome de Hilbert. El so habilitación recibió l'aprobación en 1919, dexándo-y llograr el rangu de Privatdozent.

Noether siguió siendo unu de los miembros más importantes del departamentu de matemátiques de Gotinga hasta 1933; los sos alumnos dacuando yeren conocíos como "los mozos de Noether". En 1924 el matemáticu holandés B. L. van der Waerden xunir al so círculu y llueu empezó a ser el principal espositor de les idees de Noether: el so trabayu foi'l fundamentu del segundu volume del so influyente llibru de testu, publicáu en 1931, Moderne Algebra. Cuando pronunció la so alocución na sesión plenaria de 1932 del Congresu Internacional de Matemáticos en Zúrich, el so mancomún alxebraicu yá yera reconocíu mundialmente. Nos siguientes años, el gobiernu nazi d'Alemaña espulsó a los xudíos qu'ocupaben puestos nes universidaes, y Noether tuvo qu'emigrar a Estaos Xuníos pa ocupar una plaza nel Bryn Mawr College de Pennsylvania. En 1935 sufrió una operación de duviesu ováricu y, a pesar de los signos de recuperación, finó cuatro díes dempués a la edá de 53 años.

El trabayu de Noether en matemátiques estremar en tres époques:^[10] Na primera (1908-1919), efeutuó contribuciones significatives a la teoría de los invariantes y de los cuerpos numbéricos. El so trabayu sobre los invariantes diferenciales nel cálculu de variaciones, el llamáu teorema de Noether foi calificáu "unu de los teoremas matemáticos más importantes enxamás probaos d'ente los qu'emponen el desenvolvimientu de la física moderna".^[11] Na so segunda dómina (1920-1926), empezó trabayos que "camudaron la cara de la álxebra [astracta]".^[12] Nel so artículu clásicu Idealtheorie in Ringbereichen (La teoría d'ideales nos aniellos, 1921) Noether tresformó la teoría d'ideales nos aniellos conmutativos nuna poderosa ferramienta matemático con aplicaciones bien variaes. Efeutuó un usu elegante de la condición de la cadena ascendente, y los oxetos que lu satisfaen denominar noetherianos nel so honor. Na tercer dómina (1927-1935), publicó les sos principales obres sobre álxebres non conmutatives y númberos hipercomplejos y xunió la teoría de la representación de los grupos cola teoría de módulos ya ideales. Amás de les sos propies publicaciones, Noether foi arrogante coles sos idees y atribúyese-y l'orixe de delles llinies d'investigación publicaes por otros matemáticos, inclusive en campos bien distantes del so trabayu principal, como la topoloxía alxebraica.

Biografía

Noether se crio na ciudá bávara d'Erlangen, representada nesta imaxe d'una postal de 1916.

El padre de Emmy, Max Noether, yera descendiente d'una familia de comerciantes al per mayor d'Alemaña. Quedó paralíticu por causa de la poliomielitis a la edá de catorce años. Recuperó parte de la movilidá, pero una de les sos piernes quedó afeutada. En gran midida autodidacta, llogró'l doctoráu de la Universidá de Heidelberg en 1868. En desempeñando'l so llabor docente mientres siete años, llogró un puestu na ciudá bávara d'Erlangen, onde conoció y darréu casó a Ida Amalia Kaufmann, la fía d'un prósperu mercader.^[13] Les contribuciones a la matemática de Max Noether pertenecen principalmente al campu de la xeometría alxebraica, siguiendo los pasos d'Alfred Clebsch. El so trabayu más conocíu ye'l Teorema de Brill-Noether y la residuu, o teorema AF+BG. Tamién ye autor d'otros teoremas, ente los que destaca'l teorema de Max Noether.

Emmy Noether nació nel senu d'esa familia un 23 de marzu de 1882, siendo la primoxénita de los cuatro hermanos. El so primer nome yera Amalie, pol so padre y güela materna, pero empezó a usar el so segundu nome al convertise nuna mocina. D'aspeutu yera bien asemeyada. Nun destacar académicamente, anque yera conocida por ser intelixente y atentu. Emmy yera curtia de vista y falaba con un leve sigmatismo mientres la so infancia. Un amigu de la familia cuntó una anéudota años más tarde sobre la moza Emmy, na que resolvió con rapidez un acertijo nuna fiesta infantil, apuntando yá la so capacidá pa la lóxica a temprana edá.^[14] A Emmy enseñáronlu a cocinar y llimpiar - como s'acostumaba coles moces de la so dómina - y recibió lleiciones de pianu, ensin aplicase con escesiva pasión a nenguna estes actividaes, anque-y gustaba baillar.^[15]

De los sos trés hermanos, namái Fritz Noether, nacíu en 1884, ye recordáu polos sos llogros académicos. N'estudiando en Múnich creóse una reputación nel campu de la matemática aplicada. El so hermanu mayor, Alfred, nació en 1883, llogró un doctoráu en química pola Universidá de Erlangen-Núremberg en 1909, pero morrió nueve años dempués. El menor de los sos hermanos, Gustav Robert, nació en 1889. Sábese bien pocu sobre la so vida. Sufrió una enfermedá crónica y finó en 1928.^[16]

Na Universidá de Erlangen-Núremberg

El Kollegienhaus de Erlangen, unu de los edificios de l'antigua universidá onde se graduó y dio les sos primeres lleiciones Emmy Noether.

Emmy Noether amosó a temprana edá la so capacidá pa la llingua inglesa y francesa. Na primavera de 1900 presentar al exame de profesor d'eses llingües y recibió una calificación global de sehr gut (sobresaliente). La so capacitación cualificába-y pa enseñar idiomes n'escueles femenines, pero en llugar d'ello decidió siguir los sos estudios na Universidá de Erlangen-Núremberg.

Esta decisión yera bien pocu convencional na so dómina. Dos años enantes, el senáu académicu de la universidá declarara que la coeducación podría "subvertir tol orde académicu".^[17] Siendo una de los dos úniques muyeres estudiantes nuna universidá con 986 alumnos matriculaos, a Noether obligóse-y a asistir como oyente a delles clases, cuntando primeramente col permisu preceptivu de cada unu de los profesores a que les sos clases deseyara asistir. A pesar de les torgues, el 14 de xunetu de 1903 aprobó l'exame de graduación nel Realgymnasium de Núremberg.^[18]

Mientres el semestre d'iviernu 1903-04 estudió na Universidá de Gotinga, asistiendo a lleiciones impartíes pol astrónomu Karl Schwarzschild y los matemáticos Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein, y David Hilbert. Bien pocu dempués, les distinciones nos derechos de les muyeres qu'escolgaben nesa universidá fueron rescindíos.

Noether tornó a Erlangen. Oficialmente reincorporóse a la universidá'l 24 d'ochobre de 1904 y declaró la so intención de centrase puramente nes matemátiques. So la supervisión de Paul Gordan escribió la so tesis Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Sobre la construcción de los sistemes formales de les formes ternaries bicuadráticas, 1907). Anque foi bien acoyida, Noether describió darréu la so tesis como esllava.^[19]

Mientres los siguientes siete años (1908-1915) impartió clases nel Institutu matemáticu de la Universidá de Erlangen ensin percibir soldaes, sustituyendo dacuando al so padre cuando s'atopaba demasiáu postráu pa dar clase. En 1910 y 1911 publicó una ampliación de la so tesis doctoral xeneralizando'l casu de 3 variables a n variables.

Noether n'ocasiones emplegaba postales p'aldericar temes d'álxebra astracta col so colega, Ernst Fischer. Esta postal tien matasellos del 10 d'abril de 1915.

Gordan xubilar na primavera de 1910, pero siguió enseñando dacuando col so socesor, Erhard Schmidt, quien pocu dempués foise pa ocupar una plaza en Breslau. Gordan abandonó la enseñanza en 1911 cola llegada del so segundu socesor, Ernst Fischer. Gordan finó n'avientu de 1912.

Según Hermann Weyl, Fischer exerció una importante influencia en Noethersobremanera por introduci-y a la obra de David Hilbert. De 1913 a 1916 Noether publicó dellos artículos ampliando y aplicando la metodoloxía de Hilbert a oxetos matemáticos como los cuerpos de funciones racionales y la teoría de los invariantes de grupos finitos. Esta fase marca l'empiezu del so compromisu col álxebra astracta, el campu de les matemátiques nel qu'efeutuó contribuciones fundamentales.

Noether y Fischer compartieron con entusiasmu'l so prestar poles matemátiques y con frecuencia aldericaríen les sos clases muncho depués de que la so rellación terminara. Sábese que Noether unvió postales a Fischer siguiendo'l so intercambiu d'impresiones sobre pensamientos matemáticos.^[20]

Na Universidá de Gotinga

Na primavera de 1915, Noether foi convidada a tornar a la Universidá de Gotinga por David Hilbert y Felix Klein. Sicasí, los sos esfuercios por reclutarla fueron bloquiaos polos filólogos y historiadores de la Facultá de Filosofía, sol argumentu, según ellos, de que les muyeres nun teníen d'aportar a la condición de privatdozent. Unu de los miembros de la facultá protestó diciendo "¿qué van pensar los nuesos soldaos cuando vuelvan a la universidá y atopen que se-yos pide qu'apriendan poniéndose a los pies d'una muyer?"^[21] Hilbert respondió con indignación, espetando: "Nun veo por qué'l sexu d'un candidatu pueda ser un argumentu en contra de la so almisión como privatdozent. Dempués de too, somos una universidá, non un establecimientu de baños."^[21]

Noether dirixir a Gotinga a finales d'abril. Dos selmanes más tarde a la so madre sobreviéno-y de secute la muerte. Primeramente recibiera un tratamientu por una afección ocular, pero desconoz el so naturaleza y l'impautu que sobre ella tuvo la desapaición de la so madre. Por eses feches el padre de Emmy xubilóse y el so hermanu apuntar nel exércitu d'Alemaña pa combatir na Primer Guerra Mundial. Tornó a Erlangen mientres delles selmanes, principalmente pa ocupase del so vieyu padre.^[22]

Mientres los primeros años como profesora en Gotinga nun tuvo una plaza oficial y nun percibía retribución. La so familia pagába-y l'agospiamientu y mantención, sufragando d'esa manera'l so llabor académicu. Frecuentemente les sos clases anunciar col nome de Hilbert y tenía la considerancia de "ayudante".

Sicasí, pocu dempués de llegar a Gotinga amosó la so capacidá probando'l teorema qu'anguaño lleva'l so nome, qu'amuesa que toa llei de caltenimientu nun sistema físicu provién de dalguna simetría diferenciable del mesmu.^[23] El físicu d'Estaos Xuníos Leon M. Lederman y Christopher T. Hill argumenten nel so llibru Symmetry and the Beautiful Universe que'l teorema de Noether ye "verdaderamente unu de los más importantes teoremas matemáticos enxamás probaos qu'empunxeron el desenvolvimientu de la física moderna, posiblemente al mesmu nivel que'l teorema de Pitágoras".^[11]

El departamentu de matemátiques de la Universidá de Gotinga dexó la habilitación de Noether en 1919, cuatro años dempués de qu'empezara a dar clases na so facultá.

Cuando remató la primer guerra mundial, la Revolución de Payares traxo un cambéu significativu nos usos sociales, lo que se tradució en más derechos pa les muyeres. En 1919 la Universidá de Gotinga dexó a Noether optar a la so habilitación (capacidá d'exercer como profesora). El so exame oral tuvo llugar a finales de mayu, y la so lleición de habilitación foi pronunciada con ésitu en xunu.

Tres años dempués recibió una carta del Ministeriu prusianu de Ciencia, Arte y Educación Pública nel que se-y confería los títulu de nicht beamteter ausserordentlicher Professorin (Profesora non funcionaria esterna, esto ye, con derechos y funciones alministratives llindaes).^[24]). Esti cargu yera un profesoráu "estraordinariu" ensin paga, non correspondiente al profesoráu "ordinariu", que traía la condición de funcionariu públicu. Anque se reconocía la importancia del so trabayu, el puestu entá nun traía la perceición d'un salariu. Noether nun foi retribuida poles sos clases hasta que foi designada pal so puestu especial de Lehrauftrag für Algebra (catedrática d'álxebra) un añu dempués.^[25]

Trabayos determinantes pa la álxebra astracta

Anque'l teorema de Noether tien un fondu efeutu sobre la física, ente los matemáticos ye célebre por ser unu de los qu'empecipiaron el campu del álxebra astracta. Como diz Nathan Jacobson na so introducción a los Collected Papers (Artículos aconceyaos) de Noether:

El desenvolvimientu de la álxebra astracta, que ye una de les más importantes innovaciones de les matemátiques del sieglu XX, deber en gran midida a ella - poles sos publicaciones, clases ya influencia personal sobre los sos contemporáneos.

La obra fundamental pa la álxebra de Noether empezó en 1920. Cuando pudo cuntar cola collaboración de W. Schmeidler publicó un artículu sobre la teoría d'ideales na que definía los ideales pola izquierda y pola derecha nun aniellu. Los años siguientes publicó un artículu que se convirtió nun finxu, tituláu Idealtheorie in Ringbereichen, analizando la condición de la cadena ascendente al respeutu de los ideales. Un notable alxebrista, Irving Kaplansky, calificó'l so trabayu de "revolucionariu",^[26] y la so publicación dio llugar al términu aniellu noetheriano. Tamién otros oxetos matemáticos fueron renombraos como "noetherianos".^[27]

En 1924, un mozu matemáticu holandés, B. L. van der Waerden, llegó a la Universidá de Gotinga. Darréu empezó a trabayar con Noether, quien-y apurrió métodos d'incalculable valor na conceptualización astracta. Van der Waerden dixo darréu que la so orixinalidá taba "absolutamente más allá de cualquier comparanza".^[28] En 1931 publicó Moderne Algebra, un testu central pa esti campu. El so segundu volume ta descomanadamente influyíu pol trabayu de Noether. Anque Emmy nun buscaba la reconocencia, Bartel incluyó como nota na so séptima edición la observación "basáu en parte nes clases de Y. Artin y Y. Noether".^[29] N'ocasiones dexó que los sos colegues y alumnos recibieren l'atribución de les sos idees, ayudar a desenvolver les sos carreres por cuenta d'ella mesma.^[30]

Les visites de Van der Waerden yeren parte d'una converxencia de los matemáticos de tol mundu escontra Gotinga, que se convirtió nel centru más importante de contautu ente la investigación en física y matemátiques. De 1926 a 1930 el topólogu rusu Pavel Alexandrov dio una clase na universidá. Noether y él rápido convirtiéronse en bonos amigos. Empezó a referise a ella como der Noether (el Noether), utilizando l'artículu nominativu masculín singular alemán como apellativu cariñosu p'amosar el so respetu escontra ella. Ella intentó buscar la manera de llograr un puestu pa él en Gotinga como profesor regular, pero namái foi capaz d'ayudar a asegurase una beca de la Fundación Rockefeller.^[31] Dambos atopábense con regularidá y esfrutaben aldericando sobre los puntos de mancomún de la álxebra y la topoloxía. Na so alocución nel homenaxe que recibió en 1935, Alexandrov referir a Emmy Noether como "el más grande matemáticu de tolos tiempos".^[32]

Docencia y alumnáu

En Gotinga, Noether supervisó más d'una docena de doctorandos. El primeru foi Grete Hermann, quien defendió la so tesis en febreru de 1925. Darréu faló reverentemente del so "madrina de tesis".^[33] Noether tamién dirixó la tesis de Max Deuring, quien s'estremó como estudiante de grau y siguió contribuyendo significativamente nel campu del álxebra aritmética. Hans Fitting, a quien se conoz pol teorema de Fitting y el lema de Fitting. Zeng Jiongzhi, quien probó'l teorema de Tsen. Tamién trabayó estrechamente con Wolfgang Krull, quien fixo avanzar grandemente'l álxebra conmutativa cola so Hauptidealsatz (teorema del ideal principal) y el so teoría de la dimensión na álxebra conmutativa, p'aniellos conmutativos.^[34]

Amás del so instintu pa les matemátiques, Noether foi respetada pola so considerancia escontra los demás. Anque delles vegaes portóse duramente contra los que lu contradicíen, ganóse reputación pola so solicitú y paciencia colos alumnos nuevos. La so llealtá a la precisión matemática fixo qu'un colega calificar como una "crítica severa", pero combinó la so esixencia de precisión con una actitú cuasi maternal.^[35] Un colega darréu describir d'esta miente: "dafechu esprendida de cualquier egoísmu y llibre de vanidá, enxamás pidió nada pa sigo, sinón que promovió'l trabayu de los sos alumnos percima de too".^[36]

El so estilu de vida frugal deber a que se-y negaron les soldaes pol so trabayu. Sicasí, a pesar de que la universidá empezó a retribuirle con un pequeñu salariu en 1923, siguió viviendo de forma modesta. Se -y retribuyó de forma más arrogante a la fin de la so vida, pero aforraba la metá del so salariu p'ayudar al so sobrín, Gottfried Y. Noether.^[37]

Mayormente despreocupada pol so aspeutu y modales, centróse puramente nos sos estudios hasta'l puntu d'escluyir la posibilidá d'una rellación romántica o de siguir la moda. Una importante alxebrista, Olga Taussky-Todd, describió un refrigerio pa muyeres, nel que Noether, totalmente metida nun discutiniu matemáticu, "cuspía la so comida constantemente y llimpiábase nel so vistíu, ensin qu'esto-y afectara lo más mínimo".^[38] Los alumnos más esmolecíos poles apariencies nun soportaben qu'usara la blusa de moquero y desabriérase del so pelo, cada vegada más revueltu a midida que avanzaba la clase. Dos alumnes averar a ella nuna ocasión nel descansu d'una clase de dos hores pa espresar les sos esmoliciones, pero fueron incapaces de meter baza nel enérxicu discutiniu matemáticu que taba calteniendo con otros alumnos nesi momentu.^[39]

Acordies col obituariu pronunciáu por van der Waerden tres la muerte de Emmy Noether, ella nun siguía un programa preestablecido nes sos clases, lo cual atayaba a dellos alumnos. Les sos clases yeren un tiempu de discutiniu bonal colos sos alumnos, pa pensar y clarificar los problemes más avanzaos del momentu en matemátiques. Dalgunos de los resultaos más importantes desenvolver nestes clases, y los apuntes de los estudiantes acabaron formando la base de dellos testos importantes, como los de van der Waerden y Deuring.

Dellos de los sos colegues asistíen a les sos clases, y ella dexaba que dalgunes de les sos idees, como la del "productu cruzáu" (verschränktes Produkt n'alemán) d'álxebres asociatives fueren publicaes por otros. Esiste un rexistru nel que figura Noether como profesora de cursos que duraron siquier cinco semestres en Gotinga:^[40]

• Iviernu de 1924/25: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen (Teoría de grupu y númberos hipercomplejos)
• Iviernu de 1927/28: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie (Cantidaes hipercomplejas y teoría de la representación)
• Branu de 1928: Nichtkommutative Algebra (Álxebra non conmutativa)
• Branu de 1929: Nichtkommutative Arithmetik (Aritmética non conmutativa)
• Iviernu de 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen (Álxebra de cantidaes hipercomplejas)

Estos cursos con frecuencia precedíen a publicaciones importantes nestes árees. Noether falaba bien rápido —reflexando la rapidez de los sos pensamientos, según dicíen munchos— y pidía gran concentración a los sos alumnos. Aquellos a los que-yos ofendía los so estilu, sentíense de cutiu alienados. Unu d'ellos escribió nun cuadiernu con al respective de una clase que terminó a la 1:00 pm: "Son les 12:50, ¡gracies a Dios!"^[41] Dellos alumnos pensaben que se basaba demasiáu en discutinios bonales. Sicasí, los sos alumnos más aplicaos refalfiar nel entusiasmu con que tresmitía les matemátiques, especialmente porque les sos clases con frecuencia faíen sobre los trabayos más recién qu'ellaboraren xuntos.

Desenvolvió un círculu zarráu de colegues y estudiantes que pensaben de forma similar y tendíen a escluyir a quien nun lo faíen asina. Los "outsiders" que dacuando visitaben les clases de Noether solíen pasar namái 30 minutos na aula enantes d'abandonala envolubraos na frustración o'l tracamundiu. Unu de los sos estudiantes habituales anotó asina unu d'estos incidentes: "L'enemigu foi derrotáu; foise."^[42]

La devoción de Noether pol so oficiu y los sos alumnos nun entendía d'hores lectives. Una vegada que l'edificiu de la universidá taba cerráu por vacaciones, axuntó a la so clase nes escaleres de la entrada, llevar pol monte y dio-yos clase nuna cafetería local.^[43] Más tarde, al ser apostrada pol Tercer Reich, habría de convidar a los sos alumnos a la so casa p'aldericar los sos futuros planes y conceutos matemáticos.^[44]

En Moscú

Noether enseñó na Universidá Estatal de Moscú nel iviernu de 1928-29.

Nel iviernu de 1928-29 Noether aceptó una invitación de la Universidá Estatal de Moscú, onde siguió trabayando con P. S. Alexandrov. Amás de siguir coles sos investigaciones, impartió clases d'álxebra astracta y xeometría alxebraica. Trabayó colos topólogos Lev Pontryagin y Nikolai Chebotaryov, quien más tarde estimaron la so contribución al desenvolvimientu de la teoría de Galois.^[45]

Anque la política nun foi central na so vida, Noether tomóse ciertu interés n'asuntos políticos, y según Alexandrov, amosó un considerable sofitu a la revolución rusa de 1917. Emmy sentíase especialmente feliz por ver les meyores soviéticos nos campos de la ciencia y les matemátiques, que consideraba indicativos de les nueves oportunidaes que brindaba'l proyeutu bolxevique. Esta actitú tráxo-y problemes n'Alemaña, rematando nel desallugu de la pensión onde vivía por causa de les protestes de los cabezaleros estudiantiles que se quexaben por vivir con una "xudía marxista".-^[46]

Noether entamó volver a Moscú, un enfotu nel que recibió'l sofitu de Alexandrov. Dempués de que dexara Alemaña en 1933, intentó llograr una cátedra na Universidá Estatal de Moscú al traviés del Narkompros. Anque'l so esfuerciu nun tuvo ésitu, caltuvo correspondencia frecuente mientres los años 1930 y en 1935 fixo planes pa volver a la Xunión Soviética.^[46] Mentanto'l so hermanu Fritz aceptara un puestu nel Institutu pa la Investigación en Matemátiques y Mecánica de Tomsk, Rusia, en perdiendo'l so emplegu n'Alemaña.^[47]

Reconocencia

En 1932 Emmy Noether y Emil Artin recibieron el Premiu Ackermann-Teubner Memorial pola so contribución a les matemátiques.^[48] El premiu traía un pagu en metálicu de 500 Reichsmarks y foi vistu como una reconocencia oficial llargu tiempu retrasáu polos sos considerables trabayos nel campu. Sicasí, los sos colegues espresaron frustración pol fechu de que nun fuera escoyida pa l'Academia de Ciencies de Gotinga y enxamás foi promovida al puestu de Ordentlicher Professor (caderalga).^[49][24]

Noether visitó Zúrich en 1932 pa dirixise al plenariu del Congresu Internacional de Matemáticos.

Los colegues de Noether celebraron el so cincuenta cumpleaños en 1932 a la manera típica de los matemáticos: Helmut Hasse dedicó-y un artículu nos Mathematische Annalen, onde confirmó'l so barruntu de que dellos aspeutos de l'álxebra non conmutativa son más simples que los de la conmutativa probando una llei de reciprocidá non conmutativa.^[50] Esto complació inmensamente a Noether. Hasse tamién-y unvió un acertijo matemáticu, el "acertijo de sílabes mμν", que resolvió darréu. El acertijo perdióse.^[49]

En setiembre del mesmu añu Noether pronunció una alocución (großer Vortrag) al plenariu del Congresu Internacional de Matemáticos de Zúrich sobre los "Sistemes hipercomplejos nes sos rellaciones cola álxebra conmutativa y la teoría de númberos". Al congresu asistieron ochocientes persones, ente elles los colegues de Noether Hermann Weyl, Edmund Landau y Wolfgang Krull. Había cuatrocientos venti participantes oficiales y presentáronse ventiún alocuciones al plenariu. Aparentemente, la posición prominente de Noether como conferenciante yera una reconocencia de la importancia de la so contribución a la matemática. El congresu de 1932 describir n'ocasiones como'l puntu álgido de la so carrera.^[51]

Espulsión de Gotinga

Cuando Adolf Hitler convertir en Reichskanzler en xineru de 1933, l'activismu nazi nel país amontóse dramáticamente. Na Universidá de Gotinga l'Asociación d'Estudiantes d'Alemaña llevó a cabu un ataque contra lo que pa ellos supónía los "espíritu antialemán" y nello fueron aidaos por un privatdozent llamáu Werner Weber, antiguu alumnu de Emmy Noether. Les actitúes antisemita crearon un clima contrariu pa los profesores xudíos. Recuérdase la historia d'un mozu manifestante qu'ente les sos demandes falaba de que "los estudiantes arios queríen matemáticos arios y non matemáticos xudíos."^[52]

Una de les primeres aiciones del gobiernu de Hitler foi la Llei pa la Restauración del Serviciu Civil Profesional que cesó del so puestu a los funcionarios xudíos y políticamente sospechosos — a menos de que demostraren la so llealtá a Alemaña sirviendo na primer guerra mundial. N'abril de 1933 Noether recibió una notificación del Ministeriu Prusianu de Ciencies, Arte y Educación pública que lu comunicaba que "En base al párrafu 3 del Códigu del Serviciu Civil del 7 d'abril de 1933, pola presente retíro-y el derechu d'enseñar na Universidá de Gotinga."^[53] A dalgunos de los colegues de Noether, incluyendo Max Born y Richard Courant, tamién-yos fueron revocaos los sos puestos.^[53] Noether aceptó la decisión con aselu, sofitando a otros mientres aquellos difíciles momentos. Hermann Weyl escribió darréu que "Emmy Noether —el so valor, franqueza, el so desdexamientu pol so propiu destín, el so espíritu conciliador, a pesar del ablayamientu que nos arrodiaba, yera un aliviu moral."^[52] Como yera d'esperar, Noether siguió concentrada nes matemátiques, axuntando a los alumnos nel so apartamentu p'aldericar sobre la teoría de los cuerpos de clases. Cuando unu de los sos estudiantes apaeció vistíu col uniforme de la organización paramilitar nazi Sturmabteilung (SA), nun amosó nengún signu d'esmolición y, según díxose, inclusive-y sonrió más tarde.^[53]

Bryn Mawr

El Bryn Mawr College dio un llar atopadizu a Noether mientres los dos últimos años de la so vida.

Como docenes de profesores que se quedaren ensin emplegu empezaron a buscar puestos docentes fora d'Alemaña, los sos colegues de los Estaos Xuníos buscáron-y asistencia y oportunidaes llaborales. Albert Einstein y Hermann Weyl fueron escoyíos pol Institutu d'Estudios Avanzaos de Princeton ente qu'otros trabayaron p'atopar el patrocinador que se precisaba nos trámites d'inmigración. Noether foi contactada por representantes de dos instituciones educatives, el Bryn Mawr College n'Estaos Xuníos y el Somerville College na Universidá d'Oxford, Inglaterra. Tres una serie de negociaciones cola fundación Rockefeller, aprobóse la concesión d'una beca pa Noether en Bryn Mawr y llogró un puestu ellí, empezando a finales de 1933.^[54]

En Bryn Mawr, Noether conoció y trabó amistá con Anna Wheeler, quien estudiara en Gotinga xustu primero que Noether llegara ellí. Otra fonte de sofitu nel College foi la presidenta de Bryn Mawr, Marion Edwards Park, quien convidó con entusiasmu a los matemáticos locales por que vieren a la "Doctora Noether n'aición".^[55] Noether y un pequeñu grupu d'estudiantes trabayaron rápido col llibru de 1930 de van der Waerden Álxebra Moderna I y partes de la Theorie der algebraischen Zahlen d'Erich Hecke (Teoría de númberos alxebraicos, 1908).^[56]

En 1934, Noether empezó a dar clases nel Institutu d'Estudios Avanzaos de Princeton por invitación d'Abraham Flexner y Oswald Veblen. Tamién trabayó y supervisó a Abraham Albert y Harry Vandiver.^[57] Sicasí, sobre la Universidá de Princeton (venceyada, pero distinta del Institutu d'Estudios Avanzaos de Princeton) reparó que nun foi bien recibida en "una universidá d'homes, onde nun s'almitía a nenguna muyer".^[58] Los sos díes nos Estaos Xuníos fueron placenteros, arrodiada como taba de colegues que-y sofitaben y absorbíen coles sos temes favorites.^[59] Nel branu de 1934 retornó por un curtiu tiempu a Alemaña p'atopase con Emil Artin y el so hermanu Fritz enantes de dirixise a Tomsk. Anque munchos de los sos anteriores colegues fueren obligaos a abandonar la universidá, pudo usar la biblioteca como "investigadora invitada estranxera".^[60]

Fallecimientu

Los restos mortales de Emmy Noether atopar nel pasaxe qu'arrodia'l claustru de la Biblioteca M. Carey Thomas.

N'abril de 1935 los médicos afayáron-y un tumor coxal. Esmolecíos poles posibles entueyos de la ciruxía, ordenáron-y dos díes de reposu en cama enantes de dar en la intervención. Mientres la mesma afayaron un duviesu ováricu "del tamañu d'un melón".^[61] Dos tumores uterinos más pequeños paecíen ser benignos y nun fueron extirpados pa evitar que s'enllargara la operación. Mientres tres díes paecía que la convalecencia siguía un cursu normal, y repúnxose rápido d'un colapsu circulatoriu que se produció'l cuartu día. El 14 d'abril perdió la consciencia, la so temperatura alzar a 42,5 °C y finalmente finó. "Nun ye fácil dicir qué-y asocedió a la Doctora Noether", escribió unu de los facultativos, "ye posible qu'hubiera dalgún tipu inusual y violentu d'infeición qu'afectó a la base del celebru, que ye onde se supón que s'alcuentren los centros termorreguladores."^[61]

Unos díes dempués de la muerte de Noether, los sos amigos y allegaos en Bryan Mawr celebraron un serviciu na so memoria na President Park's house. Hermann Weyl y Richard Brauer viaxaron dende Princeton y falaron con Wheeler y Taussky sobre la so colega sumida. Nos meses que siguieron, empezaron a apaecer homenaxe per escritu per tol mundu: Al d'Albert Einstein xunióse'l de van der Waerden, Weyl y Pavel Alexandrov pa presentar los sos respetos. El so cuerpu foi encenráu y les cenices soterraes nel claustru de la biblioteca M. Carey Thomas Library en Bryn Mawr.^[62]

Contribución a la matemática y la física

En primer llugar y primero de too, Noether ye recordada nes matemátiques como alxebrista y polos sos trabayos na topoloxía. Los físicos apreciar más pol famosu teorema que lleva'l so nome, yá que tien consecuencies de gran algame pal estudiu de les partícules subatómiques y la dinámica de sistemes. Amosó una aguda propensión pal pensamientu astractu, lo que-y dexaba averar se a problemes matemáticos d'una forma orixinal.^[63] El so amigu y colega Hermann Weyl describió'l so trabayu como autoridá en tres époques claramente distintes:

(1) Periodu de relativa dependencia, 1907-1919;

(2) Les investigaciones arrexuntaes en redol a la teoría xeneral d'ideales 1920-1926;

(3) L'estudiu d'álxebres non conmutatives, les sos representaciones por aciu tresformamientos lliniales y les sos aplicaciones al estudiu de los cuerpos non conmutativos y les sos aritmétiques. (Weyl, 1935)

Na primer dómina (1908-19), Noether ocupar en primer llugar de los invariantes diferenciales y alxebraicos, empezando cola defensa de la so tesis so la direición de Paul Albert Gordan. Los sos horizontes matemáticos ampliáronse, y el so trabayu empezó a faese más xeneral y astractu a midida que foise familiarizando col trabayu de David Hilbert, gracies a estreches interaiciones col socesor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Dempués del so treslláu a Gotinga en 1915, ellaboró'l trabayu que darréu s'amosó de capital importancia pa la física, el teorema de Noether.

Na segunda dómina (1920-26), Noether dedicar al desenvolvimientu de la teoría d'aniellos.^[64]

Na so tercer dómina (1927-35), Noether centrar nel álxebra non conmutativa, tresformamientos lliniales y cuerpos conmutativos numbéricos.^[65]

Contestu históricu

Nel sieglu trescurríu dende 1832 hasta'l fallecimientu de Noether en 1935, el campu de les mátemáticas —específicamente'l álxebra— sufrió una fonda revolución, que los sos ecos entá se sienten. Los matemáticos de los sieglos anteriores trabayaron en métodos práuticos pa resolver tipos específicos d'ecuaciones, por casu les ecuaciones cúbiques, y de cuartu y quintu grau, según problemes rellacionaos cola construcción de polígonos regulares con regla y compás. Empezando cola prueba efectuada por Carl Friedrich Gauss en 1829 de qu'un númberu primu como cinco podía ser factorizado n'enteros de Gauss, la introducción per parte d'Évariste Galois del conceutu de grupu en 1832, y el descubrimientu per parte de William Rowan Hamilton de los cuaterniones en 1843, les investigaciones matemátiques diben determinando les propiedaes de sistemes cada vegada más astractos definíos por regles cada vegada más universales. Les contribuciones más importantes de Noether a les matemátiques vinieron pol desenvolvimientu d'esti nuevu campu, el álxebra astracta.^[66]

Álxebra astracta y begriffliche Mathematik (matemática conceptual)

Dos de los dos oxetos más básicos na álxebra astracta son los grupos y los aniellos.

Un grupu consiste nun conxuntu dotáu d'una operación que combina dos elementos cualesquier y da un terceru. La operación tien de satisfaer ciertes condiciones pa ser un grupu: tien de ser zarrada (cuando s'aplica a cualquier par d'elementos, l'elementu xeneráu tien de pertenecer tamién al conxuntu), ten de ser asociativa, tien de tener un elementu neutru (un elementu que combináu por aciu la operación con cualesquier otru da como resultáu l'elementu orixinal, como sumar cero o multiplicar por unu), y pa cada elementu tien d'esistir un elementu inversu.

Un aniellu ye un conxuntu dotáu de dos operaciones. La primera da al conxuntu estructura de grupu, y la segunda operación ye asociativa y distributiva con al respective de la primer operación. Puede o nun ser conmutativa. Si cada elementu distintu de cero tien un inversu multiplicativu (un elementu x tal que ax = xa = 1), l'aniellu llámase aniellu de división. Un cuerpu defínese como un aniellu de división conmutativu.

Los grupos estúdiense frecuentemente por aciu representaciones de grupu. Na so forma más xeneral, éstes consisten en tomar un valor del grupu, un conxuntu, y una aición del grupu sobre'l conxuntu, esto ye, una operación esterna que toma un elementu del grupu y un elementu del conxuntu, y da un elementu del conxuntu. Con frecuencia, el conxuntu ye un espaciu vectorial y el grupu ta representáu por simetríes del espaciu vectorial. Por casu, hai grupos que pueden representase por aciu rotaciones del espaciu. Noether consideró esti tipu de simetríes nel so trabayu sobre los invariantes en física.

Una forma poderosa d'estudiar los aniellos ye al traviés de los sos módulos. Un módulu consiste nun valor d'un aniellu, otru conxuntu, de normal distintu del conxuntu subxacente llamáu'l conxuntu subxacente del módulu, una operación sobre pares d'elementos del conxuntu subxacente del módulu y una operación que toma un elementu del aniellu y un elementu del módulu y da un elementu del módulu. El conxuntu subxacente del módulu y la so operación tienen de formar un grupu. Un módulu ye una versión de la teoría d'aniellos d'una representación de grupu: inorando la segunda operación del aniellu y l'operación sobre pares d'elementos del módulu determina una representación de grupu. La utilidá real de los módulos ye que los tipos de módulos qu'esisten y el so interaiciones revélase la estructura del aniellu de formes que nun son evidentes a partir del propiu aniellu. Un casu especial importante d'esto ye un álxebra. La pallabra álxebra significa tantu una tema dientro de les matemátiques como un oxetu más específicu estudiáu dientro de la mesma álxebra. Nesta segunda acepción consiste nuna eleición de dos aniellos y una operación que toma un elementu de cada aniellu y da un elementu del segundu aniellu. Esta operación efectuar el segundu aniellu nun módulu sobre'l primeru. Con frecuencia'l primer aniellu ye un cuerpu.

Pallabres como "elementu" y "operación de combinación" son demasiáu xenerales y pueden aplicase a munches situaciones astractes y del mundu real. Cualquier conxuntu de coses qu'obedezan les regles d'una (o dos) operaciones ye, por definición, un grupu (o aniellu), y obedez a tolos teoremas sobre grupos (o aniellos). Los númberos eneteros y les operaciones de adición y multiplicación son namái un exemplu. Por casu, los elementos pueden ser datos de computación en pallabres, na que la primer operación de combinación ye la dixunción esclusiva y la segunda ye una conxunción lóxica. Los teoremas de la álxebra astracta son potentes porque son xenerales. Gobiernen munchos sistemes. Puede imaxinase que poco se puede concluyir sobre objeto definíos con tan poques propiedaes, pero precisamente nesto anicia'l legáu de Noether: afayar lo máximo que pueda concluyise a partir d'un conxuntu dau de propiedaes, o dichu otra manera, identificar el mínimu de les propiedaes esenciales d'una observación en particular. A diferencia de la mayor parte de los matemáticos, nun realizó astraiciones xeneralizando a partir d'exemplos conocíos. En llugar d'ello trabayó direutamente coles astraiciones. Como recordó van der Waerden nel obituariu de Emmy:^[67]

La máxima pola que s'emponía Emmy Noether a lo llargo de la so obra podría ser formulada como sigue: «Cualquier rellación ente númberos, funciones y operaciones faise tresparente, xeneralmente aplicable y dafechu granible namái si foi aisllada a partir d'oxetos particulares y formulada como conceutos universalmente válidos».

Esto ye la llamada begriffliche Mathematik (matemática conceptual) que ye carauterística de Noether. Esti estilu de matemátiques foi adoptáu por otros matemáticos, y tres la so muerte florió en nueves formes como la teoría de categoríes.

Enteros como exemplu d'un aniellu Los

enteros formen un aniellu conmutativu que los sos elementos son los enteros, y les operaciones de combinación son la adición y la multiplicación. Cualquier par d'enteros pueden ser sumados o multiplicaos, lo cual resulta siempres n'otru enteru, y la primer operación, la adición, ye conmutativa, p. ex. pa cualquier elementu a y b del aniellu, a + b = b + a. La segunda operación, la multiplicación, tamién ye conmutativa, pero eso nun precisa ser ciertu pa otros aniellos, lo que significa que a combinada con b puede ser distintu de b combinada con a. Exemplos d'aniellos non conmutativos seríen les matrices y los cuaterniones. Los enteros nun formen un aniellu de división, porque la segunda operación non siempres puede ser invertida: nun esiste un enteru a tal que 3 × a = 1.

Los enteros tienen propiedaes adicionales que nun se xeneralicen a tolos aniellos conmutativos. Un exemplu importante ye'l teorema fundamental de l'aritmética, que diz que cada enteru positivu puede ser factorizado namái en númberos primos. Les factorizaciones úniques non siempres esisten n'otros aniellos, pero Noether atopó un únicu teorema de factorización, conocíu anguaño como'l teorema de Lasker-Noether theorem, para ideales de munchos aniellos. Gran parte del trabayu de Noether centrar en determinar qué propiedaes correspuenden a tolos aniellos, en diseñar nuevos análogos de los vieyos teoremas sobre los enteros y en determinar el mínimu conxuntu de premises necesaries pa llograr ciertes propiedaes de los aniellos.

Primer dómina (1908-19)

Teoría de la invariante alxebraica

Tabla 2 de la tesis doctoral de Noether sobre la teoría de los invariantes.^[68] Esta tabla recueye 202 de les 303 invariantes en formes ternaries bicuadráticas. Estes formes se gradúan en dos variables x y o. La direición horizontal de la tabla llista los invariantes con grau progresivamente mayor en x, mientres la direición vertical llista les mesmes con graos progresivamente mayores en o.

Gran parte del trabayu de Noether na primer dómina de la so carrera taba acomuñáu cola teoría de los invariantes, principalmente la teoría de les invariantes alxebraiques. La teoría de los invariantes trata de les espresiones que permanecen constantes (invariantes) baxu grupos de tresformamientos. Como exemplu cotidianu, si una vara de midir ríxida someter a rotación, les coordenaes (x, y, z) de los sos estremos camuden, pero'l so llargor L dada pola fórmula L² = Δx² + Δy² + Δz² permanez constante. La teoría de invariantes foi una área d'investigación activa a finales del sieglu XIX, promovida en parte pol programa de Erlangen de Felix Klein, acordies col cual los distintos tipos de xeometría tendríen de ser caracterizaes poles sos invariantes so tresformamientos, por casu, la razón anarmónica de la xeometría proyectiva. L'exemplu arquetípico d'una invariante ye'l discriminante B² − 4AC d'una forma binaria cuadrática de Ax² + Bxy + Cy². A esta llámase-y invariante porque nun camuda por substituciones lliniales x→ax + by, y→cx + dy con determinante ad − bc = 1. Estes substituciones formen el grupu llinial especial SL₂. (Nun hai invariantes sol grupu llinial xeneral de toes los tresformamientos lliniales invertibles porque estos tresformamientos pueden ser multiplicación por un factor esguilar. Pa remedialo, la teoría clásica de los invariantes tamién considera invariantes relatives, que yeren formes de invariancia salvo un factor esguilar). Puede preguntar por tolos polinomios en A, B, and C que nun camuden pola aición de SL₂; a éstos llámase-yos invariantes de les formes cuadráticas, y resulten ser los polinomios del discriminante. De manera más xeneral, puede preguntar polos invariantes de los polinomios homoxéneos A₀x^ry⁰ + ... + A_rx⁰y^r de grau cimeru, que van ser ciertos polinomios nos coeficientes A₀, ... , A_r, y de forma entá más xeneral, pueden plantegase cuestiones similares sobre los polinomios homoxéneos en más de dos variables.

Una de les principales metes de la teoría de los invariantes ye resolver el "problema de base finita". La suma o productu de dos invariantes cualesquier ye un invariante, y el problema de la base finita plantegaba si yera posible llograr tolos invariantes empezando por una llista finita de invariantes, llamaos xeneradores, y dempués añader o multiplicar los xeneradores ente sigo. Por casu, el discriminante ufierta una base finita (con un elementu) pa los invariantes de les formes binaries cuadráticas. El direutor de tesis de Noether, Paul Albert Gordan, foi conocíu como'l "rei de la teoría de los invariantes", y la so principal contribución a les matemátiques foi la so solución en 1870 del problema de la base finita pa invariantes de polinomios homoxéneos en dos variables.^[69][70] Probó la esistencia d'una base finita por aciu un métodu constructivu p'atopar tolos invariantes y los sos xeneradores, pero nun foi capaz de desenvolver esti enfoque constructivu pa invariantes de polinomios en trés o más variables. En 1890 David Hilbert probó un planteamientu similar pa los invariantes de polinomios homoxéneos en cualquier númberu de variables.^[71][72] Ye más, esti métodu funcionaba non yá pal grupu especial llinial, sinón tamién pa dalgún de los sos subgrupos como'l grupu especial ortogonal.^[73] La so primer prueba produció ciertu discutiniu porque nun apurría un métodu pa construyir los xeneradores, anque en trabayos posteriores fixo que'l so métodu fuera constructivu. Pa la so tesis Noether amplió la prueba computacional de Gordan a polinomios homoxéneos en trés variables. L'aproximamientu constructivu de Noether fixo posible estudiar les rellaciones ente los invariantes. Darréu, en volviéndose escontra métodos más astractos, dixo de la so tesis que yera Mist (esllava) y Formelngestrüpp (un revoltixu d'ecuaciones).

Teoría de Galois

La teoría de Galois trata de los tresformamientos de cuerpos numbéricos que permutan los raigaños d'una ecuación. Considérese una ecuación polinómica d'una variable x de grau n, nel que los coeficientes pertenecen a dalgún cuerpu base», que podría ser, por casu, el cuerpu de los númberos reales, el de los númberos racionales o'l de los enteros módulu  7. Pueden esistir o non valores de x qu'anulen esti polinomiu. Estos valores, si esisten, llámense raigaños. Si'l polinomiu ye x² + 1 y el cuerpu ye'l de los númberos reales, entós el polinomiu nun tien raigaños, porque cualquier valor de x fai que'l polinomiu seya mayor o igual qu'unu. Sicasí, si'l cuerpu s'estiende, entós el polinomiu puede tener raigaños, y si estiéndese-y lo suficiente, va tener un númberu de raigaños igual al so grau. Siguiendo col exemplu previu, si'l cuerpu estender a los númberos complexos, entós el polinomiu tien dos raíz, i y −i, ondei ye la unidá imaxinaria, esto ye, i ² = −1. De manera más xeneral, la estensión del cuerpu nel qu'un polinomiu puede factorizarse nos sos raigaños conozse como cuerpu de descomposición del polinomiu.

El grupu de Galois d'un polinomiu ye'l conxuntu de toles maneres de tresformar el cuerpu de descomposición ensin camudar nin el cuerpu base nin los raigaños del polinomiu (na xíriga matemática, esos tresformamientos denominar automorfismos). El grupu de Galois de x² + 1 consta de dos elementos: El tresformamientu identidá, qu'unvia cada númberu complexu a sigo mesmu, y la conxugación, que fai corresponder i a −i. Una y bones el grupu de Galois nun camuda'l cuerpu base, dexa los coeficientes del polinomiu inalteraos, de cuenta que debe tamién dexar inalteráu'l conxuntu de toes los raigaños. Sicasí, cada raigañu puede tresformase n'otru raigañu, de cuenta que'l tresformamientu determina una permutación de n raigaños ente sigo mesmes. La importancia del grupu de Galois vien del teorema fundamental de la teoría de Galois, que prueba que los cuerpos que tán ente'l cuerpu base y el cuerpu de descomposición tán en correspondencia biunívoca colos subgrupos del grupu de Galois.

En 1918, Noether publicó un artículu de gran importancia sobre'l problema inversu de Galois.^[74] En llugar de determinar el grupu de Galois de tresformamientos d'un cuerpu dau y la so estensión, Noether preguntóse si, dau un cuerpu y un grupu, siempres ye posible atopar una estensión del cuerpu que tenga al grupu dau como'l so grupu de Galois. Amenorgó esto al llamáu problema de Noether, que pregunta si'l cuerpu fixu d'un subrupo G del grupu de permutaciones S_n actuando sobre'l cuerpu k(x₁, ... , x_n) ye siempres una estensión trascendente pura del cuerpu k. (Mentó esto per primer vegada nun artículu de 1913,^[75] onde atribuyía los problema al so colega Fischer.) Amosó qu'esto yera ciertu pa n = 2, 3, o 4. En 1969, R. G. Swan atopó un contraejemplo pal problema de Noether siendo n = 47 y G un grupu cíclicu d'orde 47^[76] (anque esti grupu puede realizase como un grupu de Galois sobre los númberos racionales por otros métodos). El problema inversu de Galois sigue ensin resolvese.^[77]

Física

Artículu principal: Teorema de Noether

Artículu principal: Llei de caltenimientu

Artículu principal: Integral de movimientu

Noether foi convidada a Gotinga en 1915 por David Hilbert y Felix Klein, quien precisaben de la so esperiencia na teoría de invariantes p'ayudar a entender la relatividá xeneral, una teoría xeométrica de la gravitación desenvuelta principalmente por Albert Einstein. Hilbert reparara que la caltenimientu de la enerxía paecía ser violada na relatividá xeneral, debíu al fechu de que la enerxía gravitacional podía de la mesma exercer atraición gravitacional. Noether desmontó esta paradoxa y creó una ferramienta fundamental pa la física teórica cola so primer teorema de Noether, que demostró en 1915, pero que nun publicar hasta 1918.^[78] Resolvió'l problema non yá pa la relatividá xeneral, sinón que determinó les cantidaes calteníes pa cualesquier sistema de lleis físiques que tenga dalgún tipu de simetría continua En recibiendo'l so trabayu, Einstein escribió a Hilbert estes pallabres: "Ayeri recibí de la señorita Noether un artículu bien interesante sobre los invariantes. Impresionóme qu'esti tipu de coses puedan ser entendíes d'una manera tan xeneral. ¡La vieya guardia de Gotinga tendría de tomar delles lleiciones de la señorita Noether! Paez que sabe lo que fai."^[79]

Pa ilustrar la importancia d'esti teorema, si un sistema físicu portar con independencia de la so orientación nel espaciu, dizse que les lleis físiques que la gobiernen son tienen simetría de rotación. A partir d'esta simetría, el teorema de Noether amuesa que'l momentu angular del sistema tien de caltenese.^[80] El mesmu sistema físicu nun precisa ser simétricu. Un asteroide de superficie irregular que xira caóticamente nel espaciu caltién el so momentu angular a pesar de la so falta de simetría. Ye la simetría de les lleis físiques que gobiernen el sistema la que ye responsable de la llei del caltenimientu. Otros exemplos: si un esperimentu físicu da'l mesmu resultáu en cualquier llugar y en cualquier momentu, entós les sos lleis son simétriques so traslaciones (continues) nel espaciu y el tiempu. En virtú del teorema de Noether, estes simetríes espliquen les ley de caltenimientu del momentu llinial y la enerxía d'esti sistema, respeutivamente.

El teorema de Noether convirtióse nuna ferramienta fundamental na moderna física teórica, tantu pola perspeutiva que da sobre les lleis de caltenimientu como por ser una ferramienta práctico de cálculu.^[9] El teorema dexa a los investigadores determinar les cantidaes calteníes a partir de les simetríes reparaes nun sistema físicu. Recíprocamente, facilita la descripción d'un sistema físicu basándose en lleis físiques hipotétiques. Pa ilustrar esti puntu, supóngase que s'afaya un nuevu fenómenu físicu. Entós los modelos teóricos que se propongan pal fenómenu tienen de satisfaer el teorema de Noether: si la teoría tien una simetría continua, entós el teorema de Noether garantiza que la teoría tien una cantidá caltenida, y por que la teoría seya correuta, esti caltenimientu tien de ser observable n'esperimentos.

Segunda dómina (1920-26)

Anque los resultaos de la primer dómina de Noether fueron impresionantes y preseos, la so fama como matemática fuelga más nel trabayu fundamental qu'efeutuó na so segunda y tercer dómines, como alverten Hermann Weyl y B. L. van der Waerden nel obituariu de Emmy.

Nestes dómines nun taba aplicando puramente les idees y métodos de los primeros matemáticos. En llugar d'ello taba ellaborando nuevos sistemes de definiciones matemátiques que seríen usaos por futuros matemáticos. En particular, desenvolvió una teoría dafechu nueva de los ideales nos aniellos, que xeneralizaba los primeros trabayos de Richard Dedekind. Tamién ye conocida por afayar les condiciones de la cadena ascendente, una condición simple de finitud que nes sos manes dio poderoses resultaos. Estes condiciones y la teoría de los ideales dexaron a Noether xeneralizar munchos resultaos antigües y tratar vieyos problemes dende nueves perspectives, como la teoría de la eliminación y les variedaes alxebraiques, qu'estudiara'l so padre.

Condiciones ascendentes y descendentes de cadena

Nesta dómina, Noether fíxose famosa pola so maña nel usu de les condiciones ascendentes (Teilerkettensatz) o descendentes (Vielfachenkettensatz) de cadena. Dizse qu'una socesión de subconxuntos non vacíos A₁, A₂, A₃, etc. d'un conxuntu S ye puramente ascendente si cada unu ye un subconxuntu del siguiente

${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots }$

La condición de cadena ascendente rique qu'estes socesiones descompónganse dempués d'un númberu finito de pasos. N'otres pallabres, toes estes socesiones tienen de ser finitas. A la inversa, con una socesión de subconxuntos puramente descendente:

${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$

la condición de la cadena descendente rique que tales socesiones descompónganse dempués d'un númberu finito.

Les condiciones ascendentes y descendentes de cadena son xenerales, esto ye, pueden aplicase a munchos tipos distintos d'oxetos matemáticos, y a la primer vista nun paecen bien potentes. Sicasí Noether amosó cómo esplotar eses condiciones pa llograr les máximes ventayes: por casu, utilizándoles p'amosar que tou conxuntu de sub-oxetos tien un elementu maximal o minimal, o qu'un oxetu complexu puede xenerase a partir d'un númberu menor d'elementos. Estes conclusiones de cutiu son pasos cruciales nuna demostración.

Munchos tipos d'oxetos nun álxebra astracta pueden satisfaer les condiciones de cadena, y davezu si satisfaen una condición ascendente de cadena llámense noetherianos nel so honor. Por definición, un aniellu noetheriano satisfai una condición ascendente de cadena nos sos ideales esquierdu y derechu, ente que un grupu noetheriano defínese como un grupu nel que toa cadena puramente ascendente de subgrupos ye finita. Un módulu noetheriano ye un módulu nel que toa cadena puramente ascendente de submódulos descomponse dempués d'un númberu finito. Un espaciu noetheriano ye un espaciu topolóxicu nel que toa cadena puramente ascendente de subespacios abiertos descomponse dempués d'un númberu finito de términos. Esta definición establecer de tal manera que l'espectru d'un aniellu noetheriano ye un espaciu topolóxicu noetheriano.

La condición de la cadena frecuentemente ye "heredada" polos subobjetos. Por casu, tolos subespacios d'un espaciu noetheriano son de la mesma noetherianos. Tolos subgrupos y grupo cociente d'un grupu noetheriano son de la mesma noetherianos, y mutatis mutandis, lo mesmo predicar de los submódulos y cocientes de módulos d'un módulu noetheriano. Tolos aniellos cociente d'un aniellu noetheriano son noetherianos, pero eso nun ye necesariamente válidu pa los sos subanillos. La condición de cadena tamién puede heredase por combinaciones o estensiones d'un oxetu noetheriano. Por casu, les sumes finitas direutes aniellos noetherianos son noetherianas, según l'aniellu de series de potencies formales sobre un aniellu noetheriano.

Otra aplicación d'estes condiciones de cadena ye la inducción noetheriana —tamién conocida como orde bien encontáu— que ye una xeneralización de la inducción matemática. Frecuentemente úsase p'amenorgar proposiciones xenerales sobre coleiciones d'oxetos a proposiciones sobre oxetos en particular d'esa coleición. Supóngase que S ye un conxuntu parcialmente ordenáu. Una forma de probar una afirmación sobre los oxetos de S ye suponer la esistencia d'un contraejemplo y deducir una contradicción, probando d'esa manera la contrapuesta de l'afirmación orixinal. La premisa básica de la inducción noetheriana ye que tou subconxuntu non vacíu de S contién un elementu minimal. En particular, el conxuntu de tolos contraejemplos contién un elementu minimal, el contraejemplo minimal. Pa probar l'afirmación orixinal, por tanto, ye abonda probar daqué aparentemente muncho más débil: por cada contraejemplo esiste un contraejemplo menor.

Aniellos conmutativos, ideales y módulos

L'artículu de Noether, Idealtheorie in Ringbereichen (Teoría d'ideales en dominios d'integridá, 1921),^[81] ye'l fundamentu de la teoría xeneral d'aniellos conmutativos y da una de les primeres definiciones xenerales d'un aniellu conmutativu.^[82] Antes del so artículu, munchos de los resultaos na álxebra conmutativa acutar a exemplos especiales d'aniellos conmutativos, como los aniellos polinómicos sobre cuerpos o aniellos d'enteros alxebraicos. Noether probó que nun aniellu que satisfai la condición de cadena ascendente sobre un ideal, tolos ideales xenerar de forma finita. En 1943 el matemáticu francés Claude Chevalley acuñó'l términu, aniellu noetheriano, pa describir esta propiedá.^[82] Una de les consecuencies principales del artículu de Noether de 1921 ye'l teorema de Lasker-Noether, qu'amplía los teorema de Lasker sobre la descomposición primaria d'ideales n'aniellos polinómicos a tolos aniellos noetherianos. El teorema de Lasker-Noether puede contemplase como una xeneralización del teorema fundamental de l'aritmética qu'afirma que cualesquier enteru positivu puede espresase como un productu de númberos primos y que dicha descomposición ye única.

El trabayu de Noether Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Estructura astracta de la teoría d'ideales en cuerpos de númberos alxebraicos y de funciones, 1927)^[83] caracterizó los aniellos nos que los ideales tienen una factorización única n'ideales primos como los dominios de Dedekind: los dominios integrales que son noetherianos, 0 o 1-dimensionales, y zarraos integralmente nos sos cuerpos cocientes. Esti artículu tamién contién lo qu'anguaño se conoz como los teoremas d'isomorfismu, que describen dellos isomorfismos naturales y otres resultaos básiques alrodiu de los módulos noetherianos y artinianos.

Teoría de la eliminación

En 1923-24, Noether aplicó la so teoría d'ideales a la teoría de la eliminación—nuna formulación que s'atribúi al so alumnu, Kurt Hentzelt — amosando que los teoremas fundamentales de la factorización de polinomios podíen treslladase direutamente.^[84] Tradicionalmente, la teoría de la eliminación ocupar de la eliminación d'una o más variables d'un sistema d'ecuaciones polinómiques, davezu por aciu el métodu de les resultantes. Pa ilustrar esti puntu, un sistema d'ecuaciones frecuentemente puede escribise como'l productu d'una matriz M (que los sos elementos son los coeficientes) por un vector v (que les sos componentes son les potencies socesives de x) que s'iguala al vector cero, M•v = 0. De resultes, el determinante de la matriz M tien de ser igual a cero, lo que da llugar a una nueva ecuación na que la variable x foi esaniciada.

Teoría de los invariantes de grupos finitos

Téuniques como la solución non constructiva orixinal de Hilbert al problema de la base finita nun podíen aplicase pa llograr información cuantitativa sobre los invariantes d'una aición de grupu, y nin siquier podíen aplicase a toles aiciones de grupu. Nel so artículu de 1915,^[85] Noether resolvió'l problema de base finita pa un grupu finito de tresformamientos G qu'actúa sobre un espaciu vectorial finito-dimensional sobre un cuerpu de carauterística cero. La so solución amuesa que l'aniellu de les invariantes xenerar por invariantes homoxéneos que'l so grau ye menor o igual al orde del grupu finito. A esto llámase-y cota de Noether. El so artículu daba dos demostraciones de la cota de Noether, que permanecen válides cuando la carauterística del cuerpu ye coprima con |G|!, el factorial d'orde |G| del grupu G. El númberu de xeneradores necesarios nun satisfai necesariamente la cota de Noether cuando la carauterística del cuerpu estrema a |G|,^[86] pero Noether nun foi capaz de determinar si la cota yera correuta cuando la carauterística del cuerpu estrema a |G|! pero non a |G|. Mientres munchos años, determinar la verdá o falsedá de la cota nesti casu foi un problema abiertu conocíu como la "llaguna de Noether". Finalmente resolvióse de forma independiente por Fleischmann en 2000 y Fogarty en 2001, demostrando dambos que la cota sigue siendo válida.^[87]

Nel so artículu de 1926,^[88] Noether estendió'l teorema de Hilbert a representaciones d'un grupu finito sobre un cuerpu cualesquier. El nuevu casu que nun se siguía de la obra de Hilbert yera cuando la carauterística del cuerpu estrema al orde del grupu. La resultancia de Noether foi ampliáu darréu por William Haboush a tolos grupos reductivos por aciu la so demostración de la conxetura de Mumford.^[89] Nesti artículu Noether tamién introduz el lema de la normalización de Noether, qu'amuesa qu'un dominio A xeneráu finitamente sobre un cuerpu K tien un conxuntu x₁, ... , x_n d'elementos algebraicamente independientes tales que A ye la clausura integral sobre K[x₁, ... , x_n].

Contribuciones a la topoloxía

Una deformación continua (homotopía) d'una taza de café nuna dona (toru) y a la inversa.

Como dixeron Pavel Alexandrov y Hermann Weyl nos sos obituarios a Emmy, les contribuciones de Noether a la topoloxía ilustren la so arrogancia coles idees y cómo les sos intuiciones podíen tresformar campos completos de la matemática. En topoloxía los matemáticos estudien les propiedaes de los oxetos que permanencen invariantes inclusive so deformación continua, propiedaes como la so conexidad. Hai un conocíu chiste que diz qu'un topólogo ye daquién que nun estrema un donut d'una taza de café, porque pueden tresformase de manera continua (que nesti exemplu significa ensin cerrar nin abrir nuevos furacos) l'unu nel otru.

A Noether atribúyense-y les idees fundamentales que conducieron al desenvolvimientu de la topoloxía alxebraica a partir de la primitiva topoloxía combinatoria, en concretu la idea de grupos d'homoloxía.^[90] Acordies con lo que diz Alexandrov, Noether asistía a clases impartíes por Heinz Hopf y él mesmu nos branos de 1926 y 1927, onde "taba de cutio faciendo observaciones, que frecuentemente yeren fondes y sutiles",^[91] y sigue diciendo que:

Cuando ... en principiu quedó satisfecha con una construccción sistemática de la topoloxía combinatoria, reparó darréu que merecería la pena estudiar direutamente'l grupu de complexos alxebraicos y ciclos d'un poliedru dau y el subgrupu del grupu cíclicu que consta de ciclos homólogos a cero. En llugar de la definición habitual de los númberos de Betti, suxirió darréu definir el grupu de Betti como'l cociente del grupu de tolos ciclos pol subgrupu de ciclos homólogos a cero. Esta observación agora paez obvia. Pero naquellos años (1925-1928) foi un puntu de vista dafechu nuevu.^[92]

La suxerencia de Noether de que la topoloxía tenía d'estudiase algebraicamente foi adoptada darréu por Hopf, Alexandrov, y otros,^[92] y convirtióse nuna tema de discutiniu frecuente ente los matemáticos de Gotinga.^[93] Noether reparó que la so idea de grupu de Betti fai que la fórmula Euler-Poincaré seya bono d'entender, y el mesmu trabayu de Hopf sobre esta materia "lleva'l calquier d'estes observaciones de Emmy Noether".^[94][95] Noether menta les sos propies idees sobre la topoloxía namái marginalmente nuna publicación de 1926,^[96] onde les cita como una aplicación de la teoría de grupos.^[97]

L'aproximamientu alxebraicu a la topoloxía desenvolvióse independientemente n'Austria. Nun cursu impartíu en 1926-27 en Viena, Leopold Vietoris defini "grupu d'homoloxía". Walther Mayer dio una definición axomática del mesmu en 1928.^[98]

Helmut Hasse trabayó con Noether y otros p'atopar la teoría de les álxebres centrales simples.

Tercer dómina (1927-35)

Númberos hipercomplejos y teoría de la representación

Llevárense a cabu munchos trabayos sobre los númberos hipercomplejos y representaciones de grupu a principios del sieglu XX, pero siguíen siendo desemeyaos. Noether unificó los resultaos y dio la primer representación xeneral de la teoría de grupos y álxebres.^[99] En resume, Noether subsumió la teoría estructural del álxebra asociativa y de la representación de grupos nuna única teoría aritmética de módulos ya ideales que satisfaen les condiciones ascendentes de cadena. Esti únicu trabayu de Noether ye de fundamental importancia pal desenvolvimientu de la álxebra moderna.^[100]

Álxebra non conmutativa

Noether tamién foi responsable d'otres meyores nel campu de la álxebra. Con Emil Artin, Richard Brauer, y Helmut Hasse, fundó la teoría de les álxebres centrales simples.^[101]

Un artículu bien influyente publicáu por Noether, Helmut Hasse, y Richard Brauer trató de les álgebra de división,^[102] que son aquellos sistemes alxebraicos nos que ye posible la división. Probaron dos teoremas importantes; un teorema local-global qu'afirma que si una álxebra de división finita dimensional central sobre un cuerpu numbéricu alxebraicu descomponse llocalmente en cualquier elementu, entós descomponse tamién globalmente (colo que ye trivial), y de esto deducieron el so teorema principal (Hauptsatz): toa álxebra de división central finito-dimensional sobre un cuerpu numbéricu alxebraicu F descomponse sobre una estensión cíclica ciclotómica. Estos teoremas dexen clasificar toles álxebres de división finito dimensionales y centrales sobre un cuerpu numbéricu dadu. Un artículu posterior amosó, como un casu especial d'un teorema más xeneral, que tolos subcuerpos maximales d'una álxebra de división D son cuerpo de descomposición.^[103] Esti artículu tamién contién el teorema de Skolem-Noether qu'afirma que dos inclusiones d'una estensión d'un cuerpu K nuna álxebra simple central finito-dimensional sobre K, son conxugaos. El teorema de Brauer-Noether ufierta una carauterización de los cuerpos de descomposición d'una álxebra de división central sobre un cuerpu.^[104]

Valoración, reconocencia y homenaxes

El Campus de Emmy Noether na Universidá de Siegen ye la sede del departamentu de física y matemátiques. Fotografía de Bob Ionescu.

El trabayu de Noether sigue siendo relevante pal desenvolvimientu de la física teórica y les matemátiques y nunca la dexó de considerar como unu de los más grandes matemáticos del sieglu XX. Nel so obituariu, l'alxebrista B. L. van der Waerden dixo que la so orixinalidá matemática taba "absolutamente más allá de cualquier comparanza",^[105] y Herman Weyl que Noether "camudó la cara del álxebra astracta" colos sos trabayos.^[12] Yá mientres la so vida y hasta güei, caltúvose que foi la más grande matemática de la historia^[8][106] por, por casu, los matemáticos Pavel Alexandrov,^[107] Hermann Weyl,^[108] y Jean Dieudonné.^[109] Nuna carta al The New York Times, Albert Einstein escribió:^[7]

Si haber de xulgar el llabor de los matemáticos vivos más competentes, la señorita Noether foi de lloñe el xeniu matemáticu más significativu producíu desque empezó la educación cimera de les muyeres. Nel reinu de la álxebra, nel cual los más dotaos matemáticos tuvieron ocupaos mientres sieglos, afayó métodos que s'amosaron d'enorme importancia pa l'actual xeneración de mozos matemáticos.

El 2 de xineru de 1935, unos pocos meses dempués del so fallecimientu, el matemáticu Norbert Wiener escribió que:^[110]

La señorita Noether ye ... la más grande matemática qu'enxamás esistiera; y la más grande científica contemporánea de cualquier especialidá, y una autoridá como pocu al mesmu nivel que Madame Curie.

Na Esposición Universal de 1964 sol lema Matemátiques: más allá del mundu de los númberos, Noether foi la única muyer ente los matemáticos notables del mundu modernu.^[111]

Noether foi honrada en dellos homenaxes:

• L'Association for Women in Mathematics celebra cada añu los sos Conferencies Noether pa honrar a les muyeres matemátiques. Nel folletu editáu pal eventu en 2005, l'asociación caracteriza a Nother como "unu de los matemáticos más importantes del so tiempu, daquién que trabayó y sufrió por aquello no que creía y amaba. La so vida y obra van ser pa nós una gran inspiración".^[112]
• En consistencia cola so dedicación a los sos alumnos, la Universidá de Siegen axuntó les sos facultaes de matemátiques y física nel llamáu "Campus Emmy Noether".^[113]
• La Sociedá Alemana pa la Investigación Científica (Deutsche Forschungsgemeinschaft) lleva a cabu'l Emmy Noether Programm, una beca posdoctoral pa sofitar la investigación y la docencia de mozos prometedores.^[114]
• Una cai de la so ciudá natal, Erlangen, lleva'l nome Emmy Noether y Max Noether (el so padre).
• La escuela secundaria socesora d'aquélla a la qu'asistió en Erlangen foi rebautizada como the Emmy Noether School.^[109]

Y, más lloñe...

• El cráter Nöther na cara oculta de la Lluna foi nomáu asina nel so honor.
• L'asteroide 7001 Noether tamién debe'l so nome a Emmy Noether.^[115][116]

Llista de doctoraos

Fecha	Nome del estudiante	Títulu de la tesis y traducción	Universidá	Publicación
16.12.1911	Falckenberg, Hans	Verzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen Ramificaciones de les soluciones de les ecuaciones diferenciales non lliniales.^§	Erlangen	Leipzig 1912
4.3.1916	Seidelmann, Fritz	Die Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei beliebigem Rationalitätsbereich Los conxuntos d'ecuaciones cúbiques y bicuadráticas no qu'afecten a un dominiu racional arbitrariu^§	Erlangen	Erlangen 1916
25.02.1925	Hermann, Grete	Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale unter Benutzung nachgelassener Sätze von Kurt Hentzelt La cuestión sobre'l númberu finito de pasos na teoría d'ideales de polinomios por aciu l'usu de los teoremas del postreru Kurt Hentzelt^§	Gotinga	Berlín 1926
14.07.1926	Grell, Heinrich	Beziehungen zwischen dean Idealen verschiedener Ringe Rellaciones ente ideales de dellos aniellos.^§	Gotinga	Berlín 1927
1927	Doräte, Wilhelm	Über einem verallgemeinerten Gruppenbegriff Sobre una xeneralización del conceutu de grupu.^§	Gotinga	Berlín 1927
Finó previu a la defensa	Hölzer, Rudolf	Zur Theorie der primären Ringe Sobre la teoría de los aniellos primarios^§	Gotinga	Berlín 1927
12.06.1929	Weber, Werner	Idealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit beliebiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen Significáu ideal-teórica de la representabilidad de númberos naturales arbitrarios por aciu formes cuadráticas^§	Gotinga	Berlín 1930
26.06.1929	Levitski, Jakob	Über vollständig reduzible Ringe und Unterringe Sobre aniellos y subanillos dafechu reducibles^§	Gotinga	Berlín 1931
18.06.1930	Deuring, Max	Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen Sobre la teoría aritmética de les funciones alxebraiques^§	Gotinga	Berlín 1932
29.07.1931	Fitting, Hans	Zur Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nichtkommutativen Gruppen Sobre la teoría d'aniellos automórficos de grupos abelianos y los sos análogos nos grupos non conmutativos^§	Gotinga	Berlín 1933
27.07.1933	Witt, Ernst	Riemann-Rochscher Satz und Zeta-Funktion im Hyperkomplexen El teorema de Riemann-Roch y la función Zeta nos númberos hipercomplejos^§	Gotinga	Berlín 1934
06.12.1933	Tsen, Chiungtze	Algebren über Funktionenkörper Álxebres sobre cuerpos de funciones ^§	Gotinga	Gotinga 1934
1934	Schilling, Otto	Über gewisse Beziehungen zwischen der Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme und algebraischer Zahlkörper Sobre ciertes rellaciones ente l'aritmética de los sistemes de númberos hipercomplejos y los cuerpos de númberos alxebraicos.^§	Marburgu	Braunschweig 1935
1935	Stauffer, Ruth	The construction of a normal basis in a xebrable extension field La construcción d'una base normal nun cuerpu d'estensión xebrable^§	Bryn Mawr	Baltimore 1936
1935	Vorbeck, Werner	Nichtgaloissche Zerfällungskörper einfacher Systeme Cuerpo de descomposición non de Galois en sistemes simples^§	Gotinga
1936	Wichmann, Wolfgang	Anwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen Algebren Aplicaciones de la teoría p-ádica n'álxebres non conmutatives^§	Gotinga	Monatshefte für Mathematik und Physik (1936) 44, 203-224.

Referencies

1. Afirmao en: Gran Enciclopedia Soviética (1969–1978). Sección, versículu o párrafu: Нётер Эмми. Data de consulta: 28 setiembre 2015. Editorial: Большая Российская энциклопедия. Llingua de la obra o nome: rusu. Data d'espublización: 1969. Error de cita: La etiqueta <ref> ye inválida; el nome «881f6d186d52102899c652c5397af89ef86cb73e» ta definíu delles vegaes con distintu conteníu
2. Biblioteca Nacional de Francia. «autoridaes BNF» (francés). Consultáu'l 10 ochobre 2015.
3. Afirmao en: Encyclopædia Britannica Online. Llingua de la obra o nome: inglés.
4. Afirmao en: Find a Grave. Llingua de la obra o nome: inglés.
5. Biblioteca Nacional de Francia. «autoridaes BNF» (francés). Consultáu'l 10 ochobre 2015.
6. URL de la referencia: https://www.hannover-gis.de/GIS/index.action. Data de consulta: 17 xunetu 2020.
7. Einstein, Albert. "Professor Einstein Writes in Appreciation of a Fellow-Mathematician". 5 de mayu de 1935. Online n'archivu MacTutor d'historia de les matemátiques. Visitáu'l 13 d'abril 2008.
8. Osen 1974, p. 152; Alexandrov 1981, p. 100.
9. Ne'eman, Yuval. "The Impact of Emmy Noether's Theorems on XX1st Century Physics", Teicher 1999, p. 83-101.
10. Weyl 1935
11. Lederman & Hill 2004, p. 73.
12. Dick 1981, p. 128
13. Kimberling 1981, pp. 3-5; Osen 1974, p. 142; Lederman & Hill 2004, pp. 70-71; Dick 1981, pp. 7-9.
14. Dick 1981, pp. 9-10.
15. Dick 1981, pp. 10-11; Osen 1974, p. 142.
16. Dick 1981, pp. 25, 45; Kimberling, p. 5.
17. Citáu en Kimberling 1981, p. 10.
18. Dick 1981, pp. 11-12; Kimberling 1981, pp. 8-10; Lederman & Hill 2004, p. 71.
19. Kimberling 1981, pp. 10-11; Dick 1981, pp. 13-17. Lederman & Hill 2004, p. 71 Escribió tamién que completó'l so doctoráu en Gotinga, pero paez qu'esto ye un error.
20. Kimberling 1981, pp. 11-12; Dick 1981, pp. 18-24; Osen 1974, p. 143.
21. Kimberling 1981, p. 14; Dick 1981, p. 32; Osen 1974, pp. 144-145; Lederman & Hill 2004, p. 72.
22. Dick 1981, pp. 24-26.
23. Osen 1974, pp. 144-145; Lederman & Hill 2004, p. 72.
24. Dick 1981, p. 188.
25. Kimberling 1981, pp. 14-18; Osen 1974, p. 145; Dick 1981, pp. 33-34.
26. Kimberling 1981, p. 18
27. Kimberling 1981, p. 18; Dick 1981, pp. 44-45; Osen 1974, pp. 145-146
28. van der Waerden 1935, p. 100.
29. Dick 1981, pp. 57-58; Kimberling 1981, p. 19; Lederman & Hill 2004, p. 74.
30. Lederman & Hill 2004, p. 74; Osen 1974, p. 148.
31. Kimberling 1981, pp. 24-25; Dick 1981, pp. 61-63.
32. Alexandrov 1981, pp. 100, 107.
33. Dick 1981, p. 51.
34. Dick 1981, pp. 53-57.
35. Dick 1981, pp. 37-49.
36. van der Waerden 1935, p. 98.
37. Dick 1981, pp. 46-48.
38. Taussky 1981, p. 80
39. Dick 1981, pp. 40-41
40. Scharlau, W. "Emmy Noether's Contributions to the Theory of Algebras" en Teicher 1999, p. 49.
41. Mac Lane 1981, p. 77; Dick 1981, p. 37.
42. Dick 1981, pp. 38-41.
43. Mac Lane 1981, p. 71
44. Dick 1981, p. 76
45. Dick 1981, pp. 63-64; Kimberling 1981, p. 26; Alexandrov 1981, pp. 108-110.
46. Alexandrov 1981, pp. 106-109.
47. Osen 1974, p. 150; Dick 1981, pp. 82-83.
48. «Emmy Amalie Noether». dcs.st-and.ac.uk. Consultáu'l 4 de setiembre de 2008.
49. Dick 1981, pp. 72-73; Kimberling 1981, pp. 26-27.
50. Hasse 1933, p. 731
51. Kimberling 1981, pp. 26-27; Dick 1981, pp. 74-75.
52. Kimberling 1981, p. 29.
53. Dick 1981, pp. 75-76; Kimberling 1981, pp. 28-29.
54. Dick 1981, pp. 78-79; Kimberling 1981, pp. 30-31.
55. Kimberling 1981, pp. 32-33; Dick 1981, p. 80.
56. Dick 1981, pp. 80-81.
57. Dick 1981, pp. 81-82.
58. Dick 1981, p. 81.
59. Osen 1974, p. 151; Dick 1981, p. 83.
60. Dick 1981, p. 82; Kimberling 1981, p. 34.
61. Kimberling 1981, pp. 37-38.
62. Kimberling 1981, p. 39.
63. Osen 1974, pp. 148-149; Kimberling 1981, pp. 11-12.
64. Gilmer 1981, p. 131.
65. Kimberling 1981, pp. 10-23.
66. G.Y. Noether 1986, p. 168.
67. Dicke 1981, p. 101
68. Noether 1908
69. M. Noether 1914, p. 11
70. Gordan 1870
71. Weyl 1944, pp. 618-621
72. Hilbert 1890, p. 531
73. Hilbert 1890, p. 532
74. Noether 1918.
75. Noether 1913.
76. Swan 1969, p. 148
77. Malle & Matzat 1999.
78. Noether 1918b
79. Kimberling 1981, p. 13.
80. Lederman & Hill 2004, pp. 97-116.
81. Noether 1921.
82. Gilmer 1981, p. 133.
83. Noether 1927.
84. Noether 1923, Noether 1923b, Noether 1924.
85. Noether 1915
86. Fleischmann 2000, p. 24
87. Fleischmann 2000, p. 25, Fogarty 2001, p. 5
88. Noether 1926.
89. Habousch 1975.
90. Hilton 1988, p. 284
91. Dick 1981, p. 173
92. Dick 1981, p. 174
93. Hirzebruch, Friedrich. "Emmy Noether and Topology" in Teicher 1999, p. 57-61.
94. Hopf 1928.
95. Dick 1981, pp. 174-175
96. Noether 1926b
97. Hirzebruch, Friedrich, "Emmy Noether and Topology" in Teicher 1999, p. 63.
98. Hirzebruch, Friedrich, "Emmy Noether and Topology" in Teicher 1999, p. 61-63.
99. Noether 1929.
100. van der Waerden 1985, p. 244.
101. Lam 1981, pp. 152-153.
102. Brauer, Hasse & Noether 1932.
103. Noether 1933.
104. Brauer & Noether 1927
105. Dick 1981, p. 100
106. James 2002, p. 321.
107. Dick 1981, p. 154
108. Dick 1981, p. 152
109. G.Y. Noether 1987, p. 167.
110. Kimberling 1981, p. 35
111. Duchin, Moon. "The Sexual Politics of Genius" Archiváu 2009-03-25 en Wayback Machine (PDF). Avientu de 2004. Universidá de Chicago. Visitada'l 13 d'abril 2008.
112. "Introducción" Archiváu 2011-05-23 en Wayback Machine. Profiles of Women in Mathematics: The Emmy Noether Lectures. Association for Women in Mathematics. 2005. Visitada'l 13 d'abril de 2008.
113. "Emmy-Noether-Campus". Universität Siegen. Visitáu'l 13 d'abril de 2008.
114. "Emmy Noether Programme: In Brief" Archiváu 2003-07-08 en Wayback Machine. Research Funding. Deutsche Forschungsgemeinschaft. n.d. Visitada'l 5 de setiembre de 2008.
115. Schmadel 2003, p. 570.
116. Blue, Jennifer. Gazetteer of Planetary Nomenclature. USGS. 25 de xunetu de 2007. Visitáu'l 13 d'abril de 2008.

Bibliografía

Biografía n'español

• Blanco Laserna, David (2005). Emmy Noether: matemática ideal. Madrid: Nivola. ISBN 978-84-95599-93-3.

Obres escoyíes sobre Emmy Noether (n'alemán)

• Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (On Complete Systems of Invariants for Ternary Biquadratic Forms) (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión)..
• Rationale Funkionenkörper (Rational Function Fields) (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión)..
• «Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher Gruppen (The Finiteness Theorem for Invariants of Finite Groups)», Mathematische Annalen 77, doi:10.1007/BF01456821, http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=461158 
• «Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe (Equations with Prescribed Group)», Mathematische Annalen 78, doi:10.1007/BF01457099 .
• «Invariante Variationsprobleme (Invariant Variation Problems)», Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse 1918 . English translation by M. A. Tavel (1918).
• «Idealtheorie in Ringbereichen (The Theory of Ideals in Ring Domains)», Mathematische Annalen 83 (1), ISSN 0025-5831, https://commerce.metapress.com/content/m3457w8h62475473/resource-secured/?target=fulltext.pdf&sid=3y4z44usd0c312452hqwpxm3&sh=www.springerlink.com .
• «Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten», Mathematische Annalen 88, doi:10.1007/BF01448441, http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=362882 .
• «Eliminationstheorie und allgemeine Idealtheorie», Mathematische Annalen 90, doi:10.1007/BF01455443, http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=362964 .
• Eliminationstheorie und Idealtheorie (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión)..
• Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p (Proof of the Finiteness of the Invariants of Finite Linear Groups of Characteristic p) (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión)..
• Ableitung der Elementarteilertheorie aus der Gruppentheorie (Derivation of the Theory of Elementary Divisor from Group Theory) (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión)..
• «Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Abstract Structure of the Theory of Ideals in Algebraic Number Fields)», Mathematische Annalen 96 (1), doi:10.1007/BF01209152, https://commerce.metapress.com/content/v3t6331n8w244275/resource-secured/?target=fulltext.pdf&sid=zt5psvmwxpvxpbqtyy3riv45&sh=www.springerlink.com .
• «Über minimale Zerfällungskörper irreduzibler Darstellungen (On the Minimum Splitting Fields of Irreducible Representations)», Sitz. Ber. D. Preuss. Akad. D. Wiss. .
• «Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie (Hypercomplex Quantities and the Theory of Representations)», Mathematische Annalen 30, doi:10.1007/BF01187794 .
• Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren (Proof of a Main Theorem in the Theory of Algebras) (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión)..
• «Nichtkommutative Algebren (Noncommutative Algebras)», Mathematische Zeitschrift 37, doi:10.1007/BF01474591 .
• Gesammelte Abhandlungen (Collected papers), Springer-Verlag, ISBN 3-540-11504-8 .

Otres fontes

• James W. Brewer and Martha K. Smith, ed., «In Memory of Emmy Noether», Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1550-0 .
• Galois Theory and Noether's Problem, Florida Section of The Mathematical Association of America, http://mcc1.mccfl.edu/fl_maa/proceedings/2001/blue.pdf .
• Nina Byers (1998) "Y. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws." in Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether, held on 2-4 December, 1996, at the Bar-Ilan University, Israel.
• Nina Byers and Gary Williams, ed., «Emmy Noether», Out of the Shadows: Contributions of 20th Century Women to Physics, Cambridge University Press, ISBN 0-5218-2197-5 .
• Emmy Noether: 1882-1935, Birkhäuser, ISBN 3-7643-3019-8 . Trans. H. I. Blocher.
• The Noether bound in invariant theory of finite groups, doi:10.1006/aima.2000.1952, 1800251 

On Noether's bound for polynomial invariants of a finite group (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión). | añu=2001 | pub-periódica=Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society | volume=7 | páxines=5-7 | doi=10.1090/S1079-6762-01-00088-9}}

James W. Brewer and Martha K. Smith, ed., «Commutative Ring Theory», Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1550-0 .

«Die simultanen Systeme binärer Formen» (n'alemán), Mathematische Annalen 2 (2), doi:10.1007/BF01444021 .

«Reductive groups are geometrically reductive», Ann. Of Math. 102, doi:10.2307/1970974, http://links.jstor.org/sici?sici=0003-486X%28197507%292%3A102%3A1%3C67%3ARGAGR%3Y2.0.CO%3B2-1 .

«Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper» (n'alemán), Mathematische Annalen 107, doi:10.1007/BF01448916 . (German)

«Ueber die Theorie der algebraischen Formen» (n'alemán), Mathematische Annalen 36 (4), December, doi:10.1007/BF01208503 .

«A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century», Mathematics Magazine 60 (5), http://www.jstor.org/stable/2689545?origin=JSTOR-pdf 

«Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel» (n'alemán), Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse 2, http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=465901 .

Remarkable Mathematicians from Euler to von Neumann, Cambridge University Press, ISBN 0-521-81777-3 .

James W. Brewer and Martha K. Smith, ed., «Emmy Noether and Her Influence», Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1550-0 .

James W. Brewer and Martha K. Smith, ed., «Representation Theory», Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1550-0 .

Symmetry and the Beautiful Universe, Prometheus Books, ISBN 1-59102-242-8 .

James W. Brewer and Martha K. Smith, ed., «Mathematics at the University of Göttingen 1831-1933», Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1550-0 .

Inverse Galois theory, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, 1711577, ISBN 978-3-540-62890-3  | añu=1999}}.

Grinstein, L.S. and Campbell, P.J., ed., Women of Mathematics, Greenwood press, ISBN 0-313-24849-4 .

«Paul Gordan», Mathematische Annalen 75 (1), doi:10.1007/BF01564521 .

«Emmy (Amalie) Noether», Women in Mathematics, MIT Press, ISBN 0-262-15014-X .

Dictionary of Minor Planet Names (5th revised and enlarged edición), Springer-Verlag, ISBN 3-540-00238-3 .

«Invariant rational functions and a problem of Steenrod», Inventiones Mathematicae 7, doi:10.1007/BF01389798 .

James W. Brewer and Martha K. Smith, ed., «My Personal Recollections of Emmy Noether», Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1550-0 .

The Heritage of Emmy Noether, Israel Mathematical Conference Proceedings, Bar-Ilan University/American Mathematical Society/Oxford University Press, OCLC 223099225, ISBN 978-0198510451 

«Nachruf auf Emmy Noether (Obituary of Emmy Noether)», Mathematische Annalen 111, doi:10.1007/BF01472233 . Reprinted in Dick 1981. (German)

A History of Algebra: from al-Khwārizmī to Emmy Noether, Springer-Verlag, ISBN 0-387-13610-X .

«Emmy Noether», Scripta Mathematica 3 (3) .

David Hilbert and his mathematical work, doi:10.1090/S0002-9904-1944-08178-0, 0011274  | añu=1944 | pub-periódica=Bulletin of the American Mathematical Society | volume=50 | páxines=612-654}}.

}}

Otres referencies

• Brewer, James W.; Martha K. Smith (eds.) (1981). . New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-1550-0. [1]
• Dick, Auguste (1981). Emmy Noether, 1882-1935, H. I. Blocher (trans.), Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3019-8. [2] [3]
• «Emmy Noether: Professor Einstein Writes in Appreciation of a Fellow-Mathematician». New York Times. 5 de mayu de 1935. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Obits2/Noether_Emmy_Einstein.html. 
• Kimberling, Clark, "Emmy Noether," American Mathematical Monthly 79 (1972) 136-149. Addendum, 79 (1972) 755.
• Reid, Constance (1996). Hilbert. New York: Springer Science and Business Mediu. ISBN 0-387-94674-8.

Enllaces esternos

• Ficha en Mathematics Genealogy Project N'inglés.
• Emmy Noether, Mandie Taylor, in: Biographies of Women Mathematicians, Agnes Scott College. N'inglés.
• Biografía conxunta con Sophia Kovalevsky: Kovalevsky y Noether N'inglés.
• Páxina de la UCLA alrodiu de Emmy Noether N'inglés.
• Emmy Noether (1882-1935) - Lebensläufe Solicitú d'almisión a la Universidá de Erlangen y trés currículums, dos de los cualos apaecen en versión manuscrita, con trescripciones. El primeru d'ellos presenta la caligrafía de Emmy Noether. N'alemán.
• The Life and Times of Emmy Noether Nina Byers, Physics Department, UCLA, Los Angeles, CA 90024, (November 11, 1994) N'inglés.
• Dos versiones del so exame de doctoráu, presentáu en 1908 en Erlangen. La segunda ye la versión publicada. [4] [5] N'alemán.
• Clark Kimberling, Emmy Noether, Mentors & Colleagues N'inglés.