Álxebra llinial

Álxebra llinial
área de les matemátiques

El espaciu euclideu tridimensional R³ ye un espaciu vectorial y les llinies y los planos que pasen pol orixe son subespacios vectoriales de R³.

L'álxebra llinial ye una caña de les matemátiques qu'estudia conceutos tales como vectores, matrices, sistemes d'ecuaciones lliniales y nel so enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y los sos tresformamientos lliniales.

Ye una área activa que tien conexones con munches árees dientro y fora de les matemátiques, como'l analís funcional, les ecuaciones diferenciales, la investigación d'operaciones, les gráfiques por ordenador, la inxeniería, etc.

La historia de l'álxebra llinial moderna remontar a 1843, cuando William Rowan Hamilton (de quien provién l'usu del términu vector) creó los cuaterniones; y a 1844, cuando Hermann Grassmann publicó'l so llibru Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría llinial d'estensión).

Contestu xeneral

De manera más formal, l'álxebra llinial estudia conxuntos denominaos espacios vectoriales, que consten d'un conxuntu de vectores y un conxuntu d'esguilares (que tien estructura de campu, con una operación de suma de vectores y otra de productu ente esguilares y vectores que satisfaen ciertes propiedaes (por casu, que la suma ye conmutativa) (métodos cuantitativos).

Estudia tamién tresformamientos lliniales, que son funciones ente espacios vectoriales que satisfaen les condiciones de linealidad:

${\displaystyle T(o+v)=T(o)+T(v),\qquad T(r\cdot o)=r\cdot T(o).}$

A diferencia del exemplu desenvueltu na seición anterior, los vectores non necesariamente son n-adas d'esguilares, sinón que pueden ser elementos d'un conxuntu cualesquier (ello ye que a partir de too conxuntu puede construyise un espaciu vectorial sobre un campu fixu).

Finalmente, l'álxebra llinial estudia tamién les propiedaes qu'apaecen cuando s'impon estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de les más frecuentes la esistencia d'un productu internu (una especie de productu ente dos vectores) que dexa introducir nociones como llargor de vectores y ángulu ente un par de los mesmos.

Espacios vectoriales d'usu común

Dientro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son d'ampliu usu los trés tipos siguientes d'espacios vectoriales:

Vectores en Rⁿ

Esti espaciu vectorial ta formáu pol conxuntu de vectores de n dimensiones (ye dicir con n númberu de componentes). Podemos atopar un exemplu d'ellos nos vectores R², que son famosos por representar les coordenaes cartesianes: (2,3), (3,4),...

Matrices ${\displaystyle m\times n}$

Artículu principal: Matriz (matemátiques)

La matriz ye un arreglu rectangular de númberos, símbolos o espresiones, que les sos dimensiones son descrites nes cantidaes de files (usualmente m) poles de columnes (n) que tienen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiaos pol álxebra llinial y son bastantes usaos nes ciencies ya inxeniería.

Espaciu vectorial de polinomios nuna mesma variable

Un exemplu espaciu vectorial ta dau por tolos polinomios que'l so grau ye menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.

Exemplos de tales polinomios son:

${\displaystyle 4x^{2}-5x+1,\quad {\frac {2x^{2}}{7}}-3,\quad 8x+4,\quad 5}$

La suma de dos polinomios que'l so grau nun entepasa a 2 ye otru polinomiu que'l so grau nun entepasa a 2:

${\displaystyle (3x^{2}-5x+1)+(4x-8)=3x^{2}-x-7}$

El campu d'esguilares ye naturalmente'l de los númberos reales, y ye posible multiplicar un númberu por un polinomiu:

${\displaystyle 5\cdot (2x+3)=10x+15}$

onde la resultancia nuevamente ye un polinomiu (esto ye, un vector).

Un exemplu de tresformamientu llinial ye l'operador derivada D, qu'asigna a cada polinomiu la resultancia de derivalo:

${\displaystyle D(3x^{2}-5x+7)=6x-5.}$

L'operador derivada satisfai les condiciones de linealidad, y anque ye posible demostralo con rigor, a cencielles ilustrar con un exemplu la primer condición de linealidad:

${\displaystyle D((4x^{2}+5x-3)+(x^{2}-x-1))=D(5x^{2}+4x-4)=10x+4}$

y per otru llau:

${\displaystyle D(4x^{2}+5x-3)+D(x^{2}-x-1)=(8x+5)+(2x-1)=10x+4.}$

Cualquier espaciu vectorial tien una representación en coordenaes similar a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, lo cual llógrase por aciu la eleición d'una base (álxebra) (esto ye, un conxuntu especial de vectores), y una de les temes recurrentes na álxebra llinial ye la eleición de bases apropiaes por que los vectores de coordenaes y les matrices que representen los tresformamientos lliniales tengan formes sencielles o propiedaes específiques.

Xeneralización y temes rellacionaes

Puesto que l'álxebra llinial ye una teoría esitosa, los sos métodos desenvolviéronse per otres árees de la matemática: na teoría de módulos, que remplaza al cuerpu n'esguilar por un aniellu; nel álxebra multilineal, unu trepa con 'múltiples variables' nun problema de mapeo llinial, nel que cada númberu de les distintes variables dirixir al conceutu de tensor; na teoría del espectru de los operadores de control de matrices de dimensión infinita, aplicando'l analís matemáticu nuna teoría que nun ye puramente alxebraica. En toos estos casos les dificultaes téuniques son muncho más grandes.

Referencies

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons acueye conteníu multimedia sobre Álxebra llinial.
• Álxebra llinial por Elmer G. Wiens (n'inglés)
• Álxebra Llinial: Conceutos Básicos
• Introducción a l'álxebra Llinial en Contestu por José Arturo Barreto (enllaz rotu disponible n'Internet Archive; ver l'historial y la última versión).