Кватернион

Кватернио́ните (на английски: Quaternion) са система на хиперкомплексни числа, предложена от Уилям Роуън Хамилтон през 1843 година.

Умножението на кватерниони не е комутативно; те образуват тяло, което обикновено се обозначава с ${\displaystyle \mathbb {H} }$.

История

Паметната плоча на моста Бруум бридж

Хамилтон търси начин да разшири понятието за комплексно число в повече измерения. Отначало опитва с тримерно пространство, но не успява; по-късно е доказано, че това е невъзможно. След това опитва с пространство с четири измерения и така стига до идеята за кватернионите.

Според собствения му разказ на 16 октомври 1843 Хамилтон се разхожда със съпругата си по Роял Канал край Дъблин, когато в ума му внезапно проблясва формулата: $${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.}$$

Притеснен, че може да забрави решението, Хамилтон в нервна възбуда го надрасква с джобното си ножче върху страничен камък в северозападната част на моста Бруум бридж. Днес на това място има паметна плоча с надпис, който гласи:

Тук, както се разхождаше

на 16 октомври 1843 година,

сър Уилям Роуън Хамилтон

в проблясък на гениалност

откри фундаменталната формула

за умножение на кватерниони

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$

и я изчерта върху камъка на този мост.

Таблица за умножение

По аналогия с комплексните числа Хамилтон пръв въвежда записа на кватернионите като линейна комбинация във формата $${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,}$$ където ${\displaystyle \,a,b,c,d}$ са реални числа, а ${\displaystyle \,i,j,k}$ са взаимно ортогонални имагинерни единици със следната таблица за умножение:

·	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \,1}$	${\displaystyle \,i}$	${\displaystyle \,j}$	${\displaystyle \,k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle \,i}$	${\displaystyle \,-1}$	${\displaystyle \,k}$	${\displaystyle \,-j}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle \,j}$	${\displaystyle \,-k}$	${\displaystyle \,-1}$	${\displaystyle \,i}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle \,k}$	${\displaystyle \,j}$	${\displaystyle \,-i}$	${\displaystyle \,-1}$

Оттук лесно могат да бъдат извлечени следните циклични зависимости:

${\displaystyle \,ij=k}$

${\displaystyle \,jk=i}$

${\displaystyle \,ki=j}$

и

${\displaystyle \,ji=-k}$

${\displaystyle \,kj=-i}$

${\displaystyle \,ik=-j}$

както, разбира се, и основното отношение между трите имагинерни компоненти на кватерниона

${\displaystyle \,i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$.

Вижте също

• Кватернион: Класическа представа на Хамилтон

Тази статия за число все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.