Трансформация на Хаусхолдер

Трансформацията на Хаусхолдер е линейно преобразование ${\displaystyle \ H_{u}}$ на векторното пространство ${\displaystyle \ V}$, което представя отражението му спрямо хиперравнина, която преминава през началото на координатната система.

Предложено е в 1958 г. от американския математик Алстон Скот Хаусхолдер (Alston Scott Householder).

Използва се в линейната алгебра за QR декомпозиция на матрица.

Дефиниции

Операторът на Хаусхолдер се задава с израза

${\displaystyle \ H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u}$

където:

• u е нормален вектор към хиперравнина, която преминава през началото на координатната система
• с ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ е обозначено скаларното произведение в ${\displaystyle \ V}$

Матрицата на отражение на Хаусхолдер има вида:

${\displaystyle \ H=I-2uu^{\dagger }}$

Свойства

• Матрицата на Хаусхолдер е унитарна ермитова матрица: ${\displaystyle \ H=H^{\dagger }.}$ В частност, ако елементите на матрицата са реални числа, матрицата на Хаусхолдер е ортогонална матрица ${\displaystyle \ H^{-1}=H^{T}}$.
• Матрицата на Хаусхолдер е инволюция: ${\displaystyle \ H^{2}=I}$.
• Трансформацията ${\displaystyle \ H_{u}(x)}$ изобразява зададен вектор ${\displaystyle \ x}$ във вектор ${\displaystyle \ x-2\langle u,x\rangle u.}$
• Трансформацията на Хаусхолдер има една собствена стойност равна на (-1), която съответства на собствен вектор ${\displaystyle \ u,}$, всички други собствени стойности са равни на (+1).
• Детерминантата на матрицата на Хаусхолдер е равна на (-1).

Литература

• Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339 – 342. DOI:10.1145/320941.320947
• Константинов М. М. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици, С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000 г. 300 с.

Външни препратки

• www.tdoc.ru
• math.fullerton.edu