Desigualtat de Jackson

En la teoria d'aproximació, la desigualtat de Jackson és una desigualtat que limita el valor de la millor aproximació de la funció per polinomis algebraics o polinomis trigonomètrics en termes del mòdul de continuïtat o mòdul de suavitat de la funció o de les seves derivades.^[1] En termes informals, com més suau és la funció, millor es pot aproximar amb polinomis.

Declaració: polinomis trigonomètrics

Per als polinomis trigonomètrics, el següent va ser demostrat per Dunham Jackson:

• Teorema 1: Si ${\displaystyle f:[0,2\pi ]\to \mathbb {C} }$ és una ${\displaystyle r}$ vegades diferenciable la funció periòdica tal que

${\displaystyle |f^{(r)}(x)|\leq 1,\quad 0\leq x\leq 2\pi ,}$

llavors, per a cada enter positiur ${\displaystyle n}$, existeix un polinomi trigonomètric ${\displaystyle T_{n-1}}$ de grau ${\displaystyle n-1}$, com a màxim, de tal manera que

${\displaystyle |f(x)-T_{n-1}(x)|\leq {\frac {C(r)}{n^{r}}},\quad 0\leq x\leq 2\pi ,}$

on ${\displaystyle C(r)}$ depèn només de ${\displaystyle r}$.

El teorema Akhiezer-Krein-Favard dona el fort valor de ${\displaystyle C(r)}$ (anomenada la constant d'Akhiezer–Krein–Favard):

${\displaystyle C(r)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k(r+1)}}{(2k+1)^{r+1}}}~.}$

Jackson també va demostrar la següent generalització del teorema 1:

• Teorema 2: Denoteu per ${\displaystyle \omega (\delta ,f^{(r)})}$ el mòdul de continuïtat de la ${\displaystyle r}$-derivada de ${\displaystyle f}$ amb un interval ${\displaystyle \delta }$. Aleshores es pot trobar un polinomi trigonomètric ${\displaystyle T_{n}}$ de grau ${\displaystyle \leq n}$ de tal manera que

${\displaystyle |f(x)-T_{n}(x)|\leq {\frac {C_{1}(r)\omega (1/n,f^{(r)})}{n^{r}}},\quad 0\leq x\leq 2\pi .}$

Un resultat encara més general de quatre autors es pot formular com el següent teorema de Jackson.

• Teorema 3: Per a cada nombre natural ${\displaystyle n}$, si ${\displaystyle f}$ és una funció contínua ${\displaystyle 2\pi }$-periòdica, llavors existeix un polinomi trigonomètric ${\displaystyle T_{n}}$ de grau ${\displaystyle \leq n}$ de tal manera que

${\displaystyle |f(x)-T_{n}(x)|\leq c(k)\omega _{k}\left({\frac {1}{n}},f\right),\quad x\in [0,2\pi ],}$

on la constnat ${\displaystyle c(k)}$ depend de ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$,i ${\displaystyle \omega _{k}}$ és el mòdul de suavitat d'ordre ${\displaystyle k}$.

Per a ${\displaystyle k=1}$, aquest resultat va ser demostrat per Dunham Jackson. Antoni Zygmund va demostrar la desigualtat en el cas quan ${\displaystyle k=2,\omega _{2}(t,f)\leq ct,t>0}$ en 1945. Naum Akhiezer va demostrar la desigualtat en el cas quan ${\displaystyle k=2}$ en 1956. Per a ${\displaystyle k>2}$, el resultat va ser demostrat per Sergey Stechkin en 1967.

Altres observacions

Les generalitzacions i les extensions s'anomenen teoremes de tipus Jackson. Una conversió amb la desigualtat de Jackson és donada pel teorema de Bernstein. Vegeu també la teoria constructiva de la funció.

Referències

1. Achieser, N.I.. Theory of Approximation. Nova York: Frederick Ungar Publishing Co, 1956. 

Enllaços externs

• Korneichuk, N.P.; Motornyi, V.P. (2001) [1994], "Jackson inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., «Jackson's Theorem» a MathWorld (en anglès).