Quan va néixer Bôcher, el seu pare, Ferdinand, d'ascendència francesa, era professor de llengües modernes al MIT i el 1872 va passar a ser professor de francès a la universitat Harvard.[1] El jove Bôcher va créixer en un ambient familiar molt culte i amb fortes arrels a França i Nova Anglaterra.[2] El 1883 va ingressar a la universitat Harvard en la qual es va graduar el 1889, obtenint diverses beques que li van permetre acabar els seus estudis a la universitat de Göttingen, en la qual es va doctorar el 1891 sota la direcció de Felix Klein. En aquesta universitat alemanya va coincidir amb el seu compatriota William Fogg Osgood,[3] amb qui desenvoluparia tota la seva carrera acadèmica. També a Göttingen va conèixer i es va casar amb Marie Niemann amb qui va tenir tres fills.[4]
El 1891 va iniciar la seva carrera acadèmica com a professor de matemàtiques a la universitat Harvard.[5] Durant la dècada següent, ell i el seu amic Osgood va conduir el desenvolupament del departament de matemàtiques de Harvard fins a convertir-lo en un grup capdavanter en l'anàlisi real i complexa.[6] A més, Bôcher va ser escollit membre de l'Acadèmia Nacional de Ciències dels Estats Units el 1909 i president de l'American Mathematical Society els anys 1909-1910, fundant i sent el primer editor dels Transactions de la societat.[7] El 1923, l'American Mathematical Society va establir un premi tri-anual en anàlisi matemàtica que porta el seu nom en el seu honor.
A partir de l'hivern de 1913-1914 la seva salut va empitjorar notablement i li mancaven les forces pels quefers diaris.[8]
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Maxime Bôcher» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.(anglès)