La teoria de la representació és una branca de les matemàtiques que estudia lesestructures algebraiques abstractes representant els seus elements com a transformacions lineals d'espais vectorials[1] i estudia mòduls sobre aquestes estructures algebraiques abstractes.[2][3] En essència, una representació fa més concret un objecte algebraic abstracte descrivint els seus elements per matrius i les seves operacions algebraiques (per exemple, suma de matrius, multiplicació de matriu). La teoria de les matrius i dels operadors lineals es comprenen millor i, de vegades, simplifiquen els càlculs de teories més abstractes.
La teoria de la representació és un mètode útil perquè redueix els problemes de l'àlgebra abstracta a problemes en l'àlgebra lineal, un tema ben entès.[6] A més, l'espai vectorial sobre el qual es representa un grup (per exemple) pot ser infinit-dimensional i, permetent que sigui, per exemple, un espai de Hilbert, es poden aplicar mètodes d'anàlisi a la teoria de grups.[7][8] La teoria de la representació també és important en física perquè, per exemple, descriu com el grup de simetria d’un sistema físic afecta les solucions d’equacions que descriuen aquest sistema.[9]
La teoria de la representació és generalitzada en els camps de les matemàtiques per dos motius. En primer lloc, les aplicacions de la teoria de la representació són diverses:[10] a més del seu impacte en l'àlgebra, la teoria de la representació:
L’èxit de la teoria de la representació ha provocat nombroses generalitzacions. Una de les més generals és la teoria de categories.[15] Els objectes algebraics als quals s'aplica la teoria de la representació es poden veure com a tipus particulars de categories, i les representacions com a functors des de la categoria d'objectes fins a la categoria d'espais vectorials.[5] Aquesta descripció apunta a dues generalitzacions òbvies: primer, els objectes algebraics es poden substituir per categories més generals; en segon lloc, la categoria objectiu dels espais vectorials es pot substituir per altres categories ben enteses.
Sigui V un espai vectorial en el cosF.[6] Per exemple, suposant que V és Rn o Cn, l'espai n-dimensional estàndard de vectors columna en els nombres reals o complexos, respectivament. En aquest cas, la idea de la teoria de la representació és fer concreta l'àlgebra abstracta usant n &veces; nmatrius de nombres reals o complexos.
La suma i la multiplicació de matrius formen un grup de totes les n matrius n vegades en una àlgebra associativa, i per tant existeix una teoria de representació d'àlgebres associatives corresponent.
Si se substitueix la multiplicació de matrius MN pel Commutador de matrius MN − NM, llavors les n &veces; n matrius es converteixen en una àlgebra de Lie, que dóna lloc a una representació d'àlgebres de Lie.
Això és generalitzable a tot camp F i a tot espai vectorial V en F, amb mapes lineals substituint les matrius i la composició de funcions substituint la multiplicació de matrius: existeix un grup GL(V,F) de automorfismes de V, una àlgebra associativa EndF(V) de tots els endomorfismes de V, i una àlgebra de Lie corresponent gl(V,F).
Alperin, J. L.. Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups. Cambridge University Press, 1986. ISBN 978-0-521-44926-7..
Kim, Shoon Kyung. Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64062-6..
Lam, T. Y. «Representations of finite groups: a hundred years». Notices of the AMS, 45, 3,4, 1998, p. 361–372 (Part I), 465–474 (Part II)..
Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
Sharpe, Richard W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer, 1997. ISBN 978-0-387-94732-7..
Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim. Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88218-7..
Weyl, Hermann. Gruppentheorie und Quantenmechanik. The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931. S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), 1928. ISBN 978-0-486-60269-1..
Weyl, Hermann. The Classical Groups: Their Invariants and Representations. 2nd. Princeton University Press (reprinted 1997), 1946. ISBN 978-0-691-05756-9..