Prvočíselná věta

Prvočíselná věta je důležitý poznatek z oboru teorie čísel, který přibližně popisuje rozmístění prvočísel mezi přirozenými čísly.

Zhruba se dá prvočíselná věta vyjádřit tak, že při náhodném výběru čísla blízko nějakého velkého čísla N pravděpodobnost, že toto číslo bude prvočíslem, je přibližně 1/ln(N), kde ln(N) značí přirozený logaritmus N. Například kolem N = 10 000 je přibližně jedno z devíti čísel prvočíslem, zatímco poblíž N = 1 000 000 000 je pouze jedno z 21 čísel prvočíslem. Jinými slovy lze říct, že průměrná mezera mezi dvěma prvočísly blízko N je zhruba ln(N).

Vyjádření věty

Nechť π(x) je prvočíselná funkce, která pro každé reálné x udává počet prvočísel menších nebo rovných číslu x. Například π(10) = 4, neboť existují právě čtyři prvočísla (2, 3, 5 a 7) menší nebo rovna 10. Prvočíselná věta poté říká, že limita podílu π(x) a x / ln(x), kde x jde k nekonečnu, je 1, což lze vyjádřit vzorcem

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1}$,

pomocí asymptotické notace je možné totéž vyjádřit také zápisem

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$.

Podstatné je, že vzorec neříká nic o rozdílu těchto dvou funkcí, když x jde k nekonečnu. Chování tohoto rozdílu je ve skutečnosti velmi komplikované a je spojeno s jedním z nejdůležitějších nevyřešených problémů matematiky: Riemannovou hypotézou. Věta namísto toho vyjadřuje, že výraz x / ln(x) aproximuje π(x) v tom smyslu, že chyba aproximace se blíží k nule, když se x blíží k nekonečnu.

Ekvivalentním tvrzením je taktéž to, že n-té prvočíslo p_n je přibližně rovno n ln(n); opět s chybou aproximace blížící se nule, když se n blíží nekonečnu.

Stručná historie

Konkrétnější úvahy nad asymptotickým vyjádřením četnosti prvočísel se nacházejí již u Carla Friedricha Gausse na přelomu 18. a 19. století. Během 19. století se pokusili PČV dokázat Pafnutij Lvovič Čebyšev a Bernhard Riemann. Avšak první důkaz podali nezávisle na sobě francouzský matematik Jacques Hadamard ^[1] a belgický matematik Charles Jean de la Vallée-Poussin ^[2] v roce 1896 s použitím složitých metod komplexní analýzy. Důkazem prvočíselné věty se poté zabývali další matematici v průběhu 20. století, kteří našli několik dalších důkazů. O mnoho jednodušší důkaz ^[3] podal německý matematik Edmund Landau v roce 1909 a roku 1949 objevil elementární důkaz^[4] nejprve norský matematik Atle Selberg a poté Paul Erdös, který lehce upravil některé Selbergovy myšlenky ke konstrukci vlastního důkazu.^[5]

Odkazy

Související články

• Prvočíselná funkce

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prime number theorem na anglické Wikipedii.

1. HADAMARD, J. Sur la distribution des zéros de la fonction ${\displaystyle \zeta (s)}$ et ses conséquences arithmétiques. [s.l.]: Bulletin Société Mathématique de France, 1896. 
2. DE LA VALLÉE-POUSSIN, Ch. J. Recherches analytiques la théorie des nombres premiers. Brusel: Ann. Soc. scient., 1896. 
3. LANDAU, E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. New York: Chelsea Publishing Company, 1974. 
4. AUBERT, K. E.; BOMBIERI, E.; GOLDFELD, D. Number Theory, Trace Formulas, and Discrete Groups. Boston: Academic Press, 1989. Dostupné online. 
5. ERDŐS, Paul. On a New Method in Elementary Number Theory Which Leads to An Elementary Proof of the Prime Number Theorem. S. 374–384. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America [online]. 1949. Roč. 35, čís. 7, s. 374–384. Dostupné online. PMID 16588909. 

Externí odkazy

• (anglicky) Prvočíselná věta v encyklopedii MathWorld

Portály: Matematika