Sjednocení

Tento článek je o matematické operaci. Další významy jsou uvedeny na stránce Sjednocení (rozcestník).

Sjednocení dvou množin (${\displaystyle A\cup B}$)

V matematice se jako sjednocení dvou nebo více množin označuje taková množina, která obsahuje každý prvek, který se nachází alespoň v jedné ze sjednocovaných množin, a žádné další prvky. Sjednocení množin ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ se označuje symbolem ${\displaystyle A\cup B}$.

Formální definice

Pro všechna ${\displaystyle x}$ platí, že ${\displaystyle x\in A\cup B}$ právě tehdy, když ${\displaystyle x\in A}$ nebo ${\displaystyle x\in B}$. (Jedná se o matematické nebo, tzn. prvek patří do sjednocení i tehdy, nachází-li se v obou množinách.)

V případě, že se jedná o sjednocení více množin, je možno je chápat jako několik postupných sjednocení (viz asociativita níže), nebo tak, že prvek je součástí sjednocení právě tehdy, je-li prvkem alespoň jedné z množin. Např. pro sjednocení tří množin platí, že ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C}$ právě tehdy, když ${\displaystyle x\in A}$ nebo ${\displaystyle x\in B}$ nebo ${\displaystyle x\in C}$. Sjednocení ${\displaystyle n}$ množin ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$ lze zkráceně psát

${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}=\bigcup _{i=1}^{n}{A_{i}}}$

Příklad: Sjednocením množin { 1, 2, 4, 8, 9 } a { 3, 4, 7, 9 } je množina { 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9 }. Sjednocením množiny všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, ... } s množinou všech sudých kladných čísel { 2, 4, 6, … } je množina, jejímiž prvky jsou např. čísla 17, 18, 19, 20, ale nepatří do ní např. čísla 9, 15, 27, 63, 121.

V axiomatické teorii množin je sjednocení (také označované jako suma) libovolného (i nekonečného) počtu množin definováno následující konstrukcí vyplývající z axiomu sumy:

${\displaystyle \bigcup A=\{x:(\exists y)(x\in y\land y\in A)\}}$

Z této definice pak jako speciální případ dvouprvkové množiny ${\displaystyle A=\{b,c\}}$ vyplývá i klasické sjednocení dvou množin:

${\displaystyle b\cup c=\bigcup A=\bigcup \{b,c\}=\{x:x\in b\vee x\in c\}}$

Vlastnosti

Operace sjednocení dvou množin (jakožto binární operace) je asociativní, tzn. ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$. Současné sjednocení všech množin – ${\displaystyle A\cup B\cup C}$ – je oběma těmto výrazům rovno, proto je možno psát sjednocení libovolného množství množin bez použití závorek.

Sjednocení je komutativní operace, platí tedy, že ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$, sjednocované množiny je tedy možno psát v libovolném pořadí.

Neutrálním prvkem pro operaci sjednocení je prázdná množina, tzn. ${\displaystyle A\cup \emptyset =A}$. Prázdná množina se tak dá chápat jako výsledek sjednocení prázdné množiny množin.

Sjednocením s univerzální množinou získáme opět univerzální množinu, tzn. ${\displaystyle A\cup I=I}$.

Vzhledem k definici sjednocení vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o logické spojce nebo.

Mohutnost sjednocení dvou množin je přinejmenším rovna mohutnosti větší z obou množin, nejvýše pak součtu obou mohutností. Pro konečné množiny platí konkrétně: ${\displaystyle \left\vert A\cup B\right\vert =\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert -\left\vert A\cap B\right\vert }$.

Sjednocení množin je idempotentní, tzn. platí ${\displaystyle A\cup A=A}$.

Související články

• Množinové operace
• Disjunktní sjednocení
• UNION

Externí odkazy

Portály: Matematika