Gebundener Zustand

Ein gebundener Zustand oder auch Bindungszustand ist in der Physik ein Verbund aus zwei oder mehr Körpern oder Teilchen, die sich wie ein einziges Objekt verhalten. Die Abgrenzung kann gegenüber dem Zustand gelten, in dem ein einzelnes (elementares oder zusammengesetztes) Teilchen von den anderen entfernt (frei) ist, oder auch gegenüber dem Fall, dass sämtliche Teile des Ganzen voneinander entfernt sind (dispers). Ein gebundener Zustand ist im Allgemeinen stabil, also ein stationärer Zustand mit unendlicher Lebensdauer.^[1]

In der Quantenmechanik ist (sofern die Teilchenzahl erhalten bleibt) der gebundene Zustand ein Zustand im Hilbertraum, der zu zwei oder mehr Teilchen korrespondiert, deren Wechselwirkungsenergie negativ ist. Daher können die Teilchen nicht getrennt werden, solange keine Energie aufgewendet wird. Diese zum Lösen der Bindung nötige Energie heißt Bindungsenergie. Die Energieniveaus des gebundenen Zustands sind, im Gegensatz zum kontinuierlichen Spektrum einzelner Teilchen, diskret.

Im Allgemeinen kann ein stabiler gebundener Zustand in einem Potenzial existieren, wenn es eine stehende Wellenfunktion gibt. Die Energien dieser Wellenfunktionen sind negativ.

Es gibt auch instabile gebundene Zustände mit positiver Wechselwirkungsenergie. Das ist möglich, wenn eine Energiebarriere vorhanden ist, die für den Zerfall durchtunnelt werden muss. Dies ist der Fall für einige Radionuklide in ihrem Grundzustand und allgemein für viele angeregte Zustände von Atomkernen.

In relativistischen Quantenfeldtheorien zeigt sich ein gebundener Zustand mit n Teilchen der Massen m₁, …, m_n als ein Pol in der S-Matrix mit einer Masse, die kleiner ist als m₁+…+m_n (Massendefekt). Ein instabiler gebundener Zustand (siehe Resonanz) stellt sich als Pol mit komplexer Schwerpunktmasse dar.

Beispiele

Materie- teilchen                   Austausch- teilchen       Higgs-Boson                                                                                                               Quarks   Leptonen   Gluonen   W-Bosonen, Z-Boson   Photon   Graviton (?)                                                                   Hadronen             Starke Wechsel- wirkung   Schwache Wechsel- wirkung   Elektro- magnetische W’wirkung   Gravitation                                                                               Mesonen   Baryonen         Quanten- chromo- dynamik             Quanten- elektro- dynamik   Quanten- gravitation (?)                                                                                   Atomkerne                       Elektro- schwache W’wirkung                                                                                                             Atome           Große vereinheitlichte Theorie (?)                                                                                                             Moleküle                 Weltformel (?)

Ein Überblick über die verschiedenen Familien von Elementar­teilchen und zusammen­gesetzten Teilchen und die Theorien, welche ihre Wechsel­wirkungen beschreiben.

Elementarteilchen zusammengesetzte Teilchen Wechselwirkung theoretische Beschreibung

• Ein Proton und ein Elektron können sich unabhängig voneinander bewegen; als Gesamtsystem haben sie dann positive Energie. Bilden sie jedoch unter dem Einfluss der Coulombkraft einen gebundenen Zustand, das Wasserstoffatom, wird die Energie negativ. Dabei ist nur der Zustand mit der kleinsten (also negativsten) Energie, der Grundzustand, stabil. Alle anderen, angeregten Zustände sind instabil und zerfallen in den Grundzustand. Dabei werden Photonen emittiert.
• Ein Atomkern ist ein gebundener Zustand von Protonen und Neutronen.
• Ein Positronium-Atom ist ein instabiler gebundener Zustand eines Elektrons und eines Positrons. Es zerfällt in (meist) zwei Photonen.
• Das Proton ist ein Bindungszustand von drei Quarks (zwei up und ein down); jeweils ein Quark hat die quantenchromodynamische Farbe Rot, Grün oder Blau. Anders als beim Wasserstoff können die einzelnen Quarks nie getrennt werden (siehe Confinement).

Mathematische Struktur in der Quantenmechanik

Sei ${\displaystyle H}$ ein komplex separabler Hilbertraum, ${\displaystyle U=\lbrace U(t)\mid t\in \mathbb {R} \rbrace }$ sei eine ein-parametrige Gruppe mit unitären Operatoren auf ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle \rho =\rho (t_{0})}$ ein statistischer Operator auf ${\displaystyle H}$. Sei ${\displaystyle A}$ eine Observable auf ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle \mu (A,\rho )}$ die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung von ${\displaystyle A}$ in Bezug auf ${\displaystyle \rho }$ auf der Borel ${\displaystyle \sigma }$-Algebra auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Die Entwicklung von ${\displaystyle \rho }$ induziert durch ${\displaystyle U}$ wird gebunden in Bezug auf ${\displaystyle A}$ genannt, wenn ${\displaystyle \lim _{R\rightarrow \infty }\sum _{t\geq t_{0}}\mu (A,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})=0}$, wobei ${\displaystyle \mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace }$.

Beispiel: Sei ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle A}$ die Orts-Observable. Sei ${\displaystyle \rho =\rho (0)\in H}$ mit einem kompakten Träger und ${\displaystyle [-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )}$.

• Wenn die Zustandsentwicklung ${\displaystyle \rho }$ „das Wellenpaket konstant nach rechts bewegt“, z. B. wenn ${\displaystyle [t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))}$ für alle ${\displaystyle t\geq 0}$, dann ist ${\displaystyle \rho }$ in Bezug auf den Ort kein gebundener Zustand.
• Wenn ${\displaystyle \rho }$ sich mit der Zeit nicht ändert, z. B. ${\displaystyle \rho (t)=\rho }$ für alle ${\displaystyle t\geq 0}$, dann ist ${\displaystyle \rho }$ in Bezug auf den Ort ein gebundener Zustand.
• Allgemeiner: Wenn die Zeitentwicklung von ${\displaystyle \rho }$ „${\displaystyle \rho }$ nur innerhalb eines begrenzten Bereiches bewegt“, dann ist ${\displaystyle \rho }$ ein gebundener Zustand bezogen auf den Ort.

Einzelnachweise

1. Albert Messiah: Quantenmechanik. Walter de Gruyter, 1991, ISBN 3-11-011452-6, S. 358 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).