Hanna Alström wurde als jüngere Schwester der Schauspielerin Sara Alström (* 1975) geboren.[3][4] Gemeinsam mit ihrer Schwester spielte sie am Stockholmer Kindertheater Unga Teatern. Ihr Filmdebüt gab sie 1989 in der Astrid-Lindgren-Verfilmung Goldi, in der sie die Rolle der Berit spielte.[3]
Von 1989 bis 1993 stand sie in Kinderrollen am Königlichen Dramatischen Theater(Dramaten) auf der Bühne, wo sie von 2009 bis 2012 erneut zu erleben war. Ab 1994 war sie in verschiedenen schwedischen Fernsehserien zu sehen. Von 2003 bis 2007 besuchte sie die Theaterakademie in Stockholm, von 2005 bis 2009 war sie am dortigen Stadttheater engagiert.[6]
In der schwedischen Fernsehfilmreihe Ein Fall für Annika Bengtzon spielte sie 2012 in drei Folgen die Rolle der Sophia Grenborg. In der Comic-Verfilmung Kingsman: The Secret Service (2014) sowie der Fortsetzung Kingsman: The Golden Circle (2017) verkörperte sie die Rolle der Prinzessin Tilde. Im Spielfilm Das Mädchen aus dem Norden war sie 2016 als Lehrerin zu sehen. 2019 spielte sie im tschechisch-slowakischen Historiendrama The Glass Room von Julius Sevcík an der Seite von Claes Bang als ihr Ehemann Viktor sowie Carice van Houten als ihre Freundin Hana die Rolle der Liesel Landauer.[7]
In der Serie Agatha Christies Hjerson (2021) übernahm sie die weibliche Hauptrolle der Fernsehproduzentin Klara Sandberg, die für ein neues Reality-Format den exzentrischen Mordermittler Sven Hjerson, dargestellt von Johan Rheborg, gewinnen möchte und die in der Folge gemeinsam ermitteln.[8]