Rotzsch wurde zunächst als Oratorientenor bekannt, wurde Mitglied der Leipziger Bachsolisten und sprang auf einer Konzerttournee des Leipziger Thomanerchores in Basel 1954 kurzfristig als Tenorsolist ein. Von nun an trat er regelmäßig mit dem Thomanerchor auf und übernahm bald dessen Stimmbildung. 1963 wurde er Leiter des Leipziger Universitätschores, den er bis 1973 führte. Im Jahr 1972 folgte er Erhard Mauersberger auf dem Posten des Thomaskantors nach. Wenige Wochen zuvor wurde ihm der Titel eines Professors verliehen. Von 1974 bis 1979 war Rotzsch Leipziger CDU-Stadtverordneter.
Vom Amt des Thomaskantors trat Rotzsch 1991 zurück, um seiner Entlassung durch die Stadt Leipzig wegen seiner IM-Tätigkeit für das Ministerium für Staatssicherheit seit 1973 zuvorzukommen.[2] Sein Rücktritt war von zahlreichen Protesten Leipziger Bürger, aktiver und ehemaliger Thomaner sowie der Eltern von Thomanern begleitet, die sich vehement für ihn einsetzten. Sein Nachfolger wurde Georg Christoph Biller.
Rotzsch gründete 1990 die Kulturstiftung Leipzig. Im Oktober 1992 wurde Rotzsch als ordentlicher Gastprofessor für evangelische Kirchenmusik an das Mozarteum in Salzburg berufen, wo er bis 2000 wirkte.