Der Sohn des DDSG-Kapitäns Emanuel Schönböck und seiner Ehefrau Luise geb. Bogner besuchte nach der Volksschule die Schüttel-Realschule, wo er Klassenkamerad von Karl Hödl (Hans Holt) und Mitglied einer Laiengruppe war. Im Alter von 17 Jahren belegte er als Boxer bei der Neulingsmeisterschaft den zweiten Platz im Schwergewicht.
Nach der Matura begann er zunächst ein Philologiestudium in Wien. Nach zwei Semestern studierte er von 1927 bis 1930 an der Akademie für Musik und darstellende Kunst in Wien bei Heinz Schulbaur, nahm zusätzlich Gesangsunterricht bei Jekelius in Berlin und arbeitete bei der österreichischen Rundfunkgesellschaft RAVAG.
1930 gab er am Stadttheater Meißen sein Theaterdebüt als Ashley in Vater sein dagegen sehr. Darauf folgten Engagements am Deutschen Theater Hannover (1931), am Stadttheater Salzburg (1932), am Neuen Schauspielhaus Königsberg (1933) und am Stadttheater Bonn (1934 bis 1937), danach an verschiedenen Berliner Bühnen wie dem Theater am Kurfürstendamm und der dortigen Komödie. 1936 und 1937 wurde er westdeutscher Bezirksmeister im Fechten (Säbel und Florett).
Nach dem Zweiten Weltkrieg spielte Schönböck zunächst in Berlin an der Tribüne und wechselte 1946 an die Münchner Gastspielbühne. 1947 spielte er erstmals an den Münchner Kammerspielen und im Kabarett Die Schaubude. Er gehörte zu den Mitbegründern der Kleinen Freiheit, wo er 1951 bis 1952 in Kästner-Programmen spielte. Ab 1955 gastierte er an den Münchner Kammerspielen, an der StuttgarterKomödie im Marquardt, am Theater in der Josefstadt und in Berlin, ohne sich fest an ein Ensemble zu binden. Spielte er zu Beginn seiner Karriere noch im dramatischen Fach, verlagerte sich sein Schwerpunkt später mehr zum gehobenen Boulevardtheater hin, wobei er meist die Rolle des Bonvivants oder Grandseigneurs übernahm. Darüber hinaus wirkte er bei zahlreichen Kabarett-Programmen mit, unter anderem in den legendären Münchner Kabaretts Die Schaubude und Die Kleine Freiheit; in beiden trat er zeitweise mit seiner damaligen Ehefrau, der Schauspielerin Herta Saal, auf.
Im Film repräsentierte Schönböck weiterhin den typischen Grandseigneur, der allerdings in den Produktionen der 1960er und 1970er Jahre kaum noch gefragt war. So wandte er sich immer mehr dem Fernsehen zu, das noch eher in der Lage war, ihm adäquate Rollen anzubieten. Späte Höhepunkte erreichte sein parodistischer, karikierender Darstellungsstil in Helmut Dietls Satire Schtonk! über die Affäre um die von Konrad Kujau erfundenen Hitler-Tagebücher, und in Halali oder Der Schuß ins Brötchen, wo Schönböck einen greisen Gutsherrn verkörperte. Auch in Serien wie Das Erbe der Guldenburgs konnte er sich als wohlsituierter, charmanter Connaisseur präsentieren. Seine letzte größere Rolle war die des Vaters von Friedrich von Thun in mehreren Filmen der ZDF-Krimiserie Die Verbrechen des Professor Capellari. Daneben unternahm er immer noch mit großem Erfolg Gastspielreisen, so 1989 in Neil SimonsSunny Boys.
Schönböck war in erster Ehe mit der Schauspielerin Herta Saal (1910–1964) bis zu deren Tod verheiratet. Dieser Ehe entstammt die Tochter Christine (* 1942). Ab 1965 bis zu seinem Tod war Schönböck in zweiter Ehe mit der Schauspielerin Corinna Genest (1938–2023) verheiratet.
Im Alter von 92 Jahren erlag Schönbeck den Folgen eines Schlaganfalles, nachdem er bis zuletzt als Schauspieler aktiv war.
Das Grab von Karl Schönböck und seiner ersten Frau Herta Saal befindet sich auf dem Münchner Waldfriedhof (Grabnr. 106-W-13, im alten Teil des Friedhofs)[2][3].
Kay Weniger: Das große Personenlexikon des Films. Die Schauspieler, Regisseure, Kameraleute, Produzenten, Komponisten, Drehbuchautoren, Filmarchitekten, Ausstatter, Kostümbildner, Cutter, Tontechniker, Maskenbildner und Special Effects Designer des 20. Jahrhunderts. Band 7: R – T. Robert Ryan – Lily Tomlin. Schwarzkopf & Schwarzkopf, Berlin 2001, ISBN 3-89602-340-3, S. 161 ff.