Biković Eltern ließen sich scheiden, als er noch ein Kind war. Da der Vater nach Deutschland auswanderte, wuchs er mit seinem älteren Bruder bei der Mutter auf.[2][3] Sein Bruder lebt als serbisch-orthodoxer Mönch.[2] Biković besuchte das XIV. Gymnasium in Belgrad und spricht neben seiner MutterspracheSerbisch, Englisch, Russisch und Deutsch.[1] Aktuell promoviert er an der Universität der Künste Belgrad.
Er debütierte 2004 als Schauspieler in der Fernsehserie Stizu dolari. In den nächsten Jahren folgten weitere Rollen in serbischen Fernsehserien. Er wirkte in einigen russischen Film- und Serienproduktionen mit wie Jenseits der Realität oder Coma. 2013 war er im deutschen KurzfilmGreat zu sehen.
War Biković Anfang des Jahres 2024 für die dritte Staffel der Satireserie The White Lotus vorgesehen, beendete HBO im Februar 2024 die Zusammenarbeit mit Bikovic, bevor sie begonnen hatte, nachdem das Außenministerium der Ukraine, das ihn beschuldigte, den russischen Überfall auf die Ukraine zu befürworten, Kritik an der Anstellung von Bikovic geübt hatte.[5]