Disa kunaĵo

En aroteorio, disa kunaĵo estas kunaĵo de kolekto de aroj kies membroj estas poduope disaj.

Formale, se ${\displaystyle C}$ estas kolekto de aroj, tiam

${\displaystyle \bigcup _{A\in C}A}$

estas disa kunaĵo se kaj nur se por ĉiuj A kaj B en C

${\displaystyle A\neq B\implies A\cap B=\varnothing }$

La termino disa kunaĵo ankaŭ ofte signifas aliigitan kunaĵo-operacion kiu indeksigas la elementojn laŭ tio el kiuj aroj ili devenis, certiĝante, ke la rezulto estas disa kunaĵo en la pli supre priskribita senco. Tio ebligas preni la disan kunaĵon de kolekto de aroj kiuj estas ne fakte disaj.

Formale, estu {A_i : i ∈ I} familio de aroj indeksita per i. La disa kunaĵo de ĉi tiu familio estas la aro

${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i):x\in A_{i}\}}$

La eroj de la disa kunaĵo estas ordigitaj duopoj (x, i). Ĉi tie i servas kiel helpa indekso kiu indikas el kiu A_i la elemento x venis. Ĉiu el la aroj A_i estas kanone enigita en la disa kunaĵo kiel la aro

${\displaystyle A_{i}^{*}=\{(x,i):x\in A_{i}\}}$

Por i ≠ j, la aroj A_i* kaj A_j* estas disaj eĉ se la aroj A_i kaj A_j ne estas disaj.

Konsideru okazon kie ĉiuj A_i estas egala al iu fiksita aro A por ĉiu i ∈ I. En ĉi tiu okazo la disa unio de ĉi tiu familio estas la kartezia produto de A kaj I:

${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}=A\times I}$

Oni povas foje vidi la skribmanieron

${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$

por la disa kunaĵo de familio de aroj, aŭ la skribmaniero A + B por la disa kunaĵo de du aroj. Ĉi tiu skribmaniero aludas al la fakto, ke la kvantonombro de la disa kunaĵo estas la sumo de kvantonombroj de la elementoj de la familio. Simile aludo estas ĉe la skribmaniero por la kartezia produto de familio de aroj.

En la lingvo de teorio de kategorioj, la disa kunaĵo estas la koproduto en la kategorio de aroj. Ĝi pro tio verigas la asociitan universalan propraĵon. Ĉi tio ankaŭ signifas, ke la disa kunaĵo estas la kategoria dualo de konstruado de la kartezia produto.

Vidu ankaŭ

• Disa kunaĵo (topologio)
• Kunaĵo
• Disaj aroj