Circunferencia de la Tierra

Método de Eratóstenes

La circunferencia de la Tierra es de aproximadamente 40 000 km (la circunferencia ecuatorial ,medida en el paralelo 0°, es de 40 075 km; mientras que la circunferencia meridional, medida desde el paralelo 90°, es de 40 008 km);^[1]​ fue medida por primera vez por el científico griego Eratóstenes de Cirene en el año 276 a. C. usando una vara y midiendo las sombras que arrojaba.^[2]​

Historia

Arquímedes de Siracusa

En su obra El Contador de Arena, Arquímedes de Siracusa quiso cuantificar cuántos granos de arena eran necesarios para llenar el universo. Dando por sentada la esfericidad del cosmos, terminó afirmando que su diámetro era de 10¹⁴ estadios; y que el perímetro de la Tierra era de 30 000 000 estadios.^[3]​

Eratóstenes

Eratóstenes, en el año 236 a. C., siendo director de la biblioteca de Alejandría, halló un papiro que describía un fenómeno curioso que ocurría cada solsticio en Syene (hoy Asuán, Egipto): los rayos del Sol llegaban al fondo de los pozos, y los obeliscos no proyectaban sombras.

Para corroborar este fenómeno, durante el solsticio de verano clavó en la tierra una vara colocada verticalmente en Alejandría, donde pudo observar que ésta sí proyectaba sombra, a diferencia de los obeliscos en Syene durante el mismo periodo. Este hecho le llevó a pensar que el grado de inclinación de la luz solar era perpendicular en Syene, pero inclinado (unos 7.2°) en Alejandría; dada la curvatura de la tierra, Eratóstenes pudo extrapolar la circunferencia completa a partir de la distancia que existía entre Alejandría y Syene, aunado a la curva inferida por la inclinación de los rayos solares durante el solsticio.^[4]​

Esta sección es un extracto de Historia de la geodesia § Mundo helenístico.[editar]

Medida de la circunferencia de la Tierra según la versión simplificada de Cleomedes, basada en la suposición errónea de que Syene está en el Trópico de Cáncer y en el mismo meridiano que Alejandría

En Egipto, un erudito y filósofo griego, Eratóstenes (276-195 a. C.) midió la circunferencia de la Tierra con gran precisión.^[5]​ Estimó que el meridiano tenía una longitud de 252 000 estadios, con un error sobre el valor real de entre -2,4% y +0,8% (asumiendo un valor para el estadio entre 155 y 160 m).^[5]​ Eratóstenes describió su técnica en un libro titulado Sobre la medida de la Tierra, que no se ha conservado.

El método de Eratóstenes para calcular la circunferencia de la Tierra se ha perdido; lo que se ha conservado es la versión simplificada descrita por Cleomedes para popularizar el descubrimiento.^[6]​ Cleomedes invitaba a su lector a considerar dos ciudades egipcias, Alejandría y Syene (la moderna Assuan):

1. Cleomedes asumió que la distancia entre Siena y Alejandría era de 5000 estadios (una cifra que era comprobada anualmente por bematistas profesionales, mensores regii);^[7]​
2. asumió la hipótesis simplificada (pero falsa) de que Syene estaba precisamente en el Trópico de Cáncer, diciendo que al mediodía local del solsticio de verano el Sol estaba directamente sobre su cabeza;
3. asumió la hipótesis simplificada (pero falsa) de que Syene y Alejandría estaban en el mismo meridiano.

Bajo los supuestos anteriores, decía Cleomedes, se puede medir el ángulo de elevación del Sol al mediodía del solsticio de verano en Alejandría, usando una varilla vertical (un gnomon) de longitud conocida y midiendo la longitud de su sombra en el suelo; entonces será posible calcular el ángulo de los rayos del Sol, que, según él, era de aproximadamente 7°, o ¹⁄₅₀ de la circunferencia de un círculo. Tomando la Tierra como esférica, la circunferencia de la Tierra sería cincuenta veces la distancia entre Alejandría y Syene, es decir 252 000 estadios. Dado que 1 estadio egipcio es igual a 157,5 metros, el resultado es 39 375 km, que es un 1,4% menos que el valor real de 39 941 km.

El método de Eratóstenes era en realidad más complicado, como afirmó el mismo Cleomedes, cuyo propósito era presentar una versión simplificada de la descrita en el libro de Eratóstenes. El método se basaba en varios viajes de agrimensura realizados por bematistas profesionales, cuyo trabajo consistía en medir con precisión la extensión del territorio de Egipto con fines agrícolas y relacionados con los impuestos.^[5]​ Además, el hecho de que la medida de Eratóstenes correspondiera precisamente a 252 000 estadios podría ser intencional, ya que ese es un número que se puede dividir por todos los números naturales del 1 al 10: algunos historiadores creen que Eratóstenes cambió el valor de 250 000 estadios escrito por Cleomedes a ese nuevo valor para simplificar los cálculos;^[8]​ otros historiadores de la ciencia creen que Eratóstenes introdujo una nueva unidad de longitud basada en la longitud del meridiano, como afirma Plinio, quien escribe sobre el estadio «según la relación de Eratóstenes».^[5]​^[9]​

Posidonio

Artículo principal: Posidonio

Efecto perturbador de la refracción atmosférica en el Método de Posidonio

Alrededor del año 100 a. C., Posidonio usó otro método, donde tomó como referencia la estrella Canopus, observándola desde dos ciudades distintas: Rodas y Alejandría. Viendo que existía una diferencia de elevación de ¹⁄₄₈ y, considerando que la distancia entre ambas ciudades era de 5.000 estadios, estimó que la Tierra tenía un perímetro de 28 350 km (240 000 estadios).^[10]​ Si el estadio utilizado por Posidonio era de casi exactamente 1/10 de una milla terrestre moderna, el valor obtenido de 240.000 estadios se traduce en 24 000 millas (38 624,2 km), no muy por debajo de la circunferencia real de 24 901 millas (40 074,2 km).^[10]​ Lo que no pudo considerar en sus cálculos fue la refracción atmosférica terrestre.

Posteriormente, Estrabón señaló que la distancia entre Rodas y Alejandría era de 3.750 estadios e informó que la estimación de Posidonio de la circunferencia de la Tierra era de 180.000 estadios o 18 000 millas (28 968,1 km).^[11]​ Plinio el Viejo también menciona a Posidonio entre sus fuentes, e informó de su método para estimar la circunferencia de la Tierra (aunque sin citar al propio Posidonio como su autor). Señaló, sin embargo, que Hiparco de Nicea había agregado unos 26.000 estadios a la estimación de Eratóstenes. El menor valor ofrecido por Estrabón y las diferentes longitudes de los estadios griegos y romanos han creado una confusión persistente en torno al resultado de Posidonio. Por su parte, Claudio Ptolomeo usó el valor más bajo de Posidonio de 180.000 estadios (alrededor de un 33% demasiado bajo) para la circunferencia de la Tierra en su Geografía. Este fue el número utilizado por Cristóbal Colón para estimar (muy por debajo de su valor real) la distancia en dirección oeste hasta la India en 70.000 estadios.^[12]​

Aryabhata

Alrededor del año 525 d. C., el matemático y astrónomo indio Aryabhata escribió el Aryabhatiya, en el que calculó que el diámetro de la Tierra era de 1,050 ioyana. La longitud de la ioyana empleada por Aryabhata está en disputa. Una lectura cuidadosa da un equivalente de 14 200 kilómetros (8823,5 mi), lo que daría un resultado un 11% por encima de su valor real.^[13]​ Otros autores fijan su valor en 15 360 km (9544,3 mi), lo que daría un valor demasiado grande en un 20%.^[14]​ Por último, distintas fuentes estiman que la ioyana mide 13 440 km (8351,2 mi), lo que daría un resultado demasiado grande en un 5%.^[15]​

Edad de oro islámica

Alrededor del año 830 d. C., el califa Al-Mamún encargó a un grupo de astrónomos liderado por Al-Juarismi que midiera la distancia desde Tadmur (Palmira) y Al Raqa, en la actual Siria. Durante sus trabajos, calcularon la circunferencia de la Tierra (posiblemente con una diferencia inferior al 15% de su valor moderno), aunque en realidad se desconoce la exactitud de su resultado debido a la incertidumbre en la conversión entre las unidades árabes medievales y las unidades modernas. Pero en cualquier caso, las limitaciones técnicas de los métodos y herramientas empleados en la época no permitirían una precisión superior al 5%.^[16]​

Diagrama que muestra cómo al-Biruni pudo calcular la circunferencia de la Tierra midiendo la inclinación de una visual dirigida al horizonte desde un punto a una altura conocida

En el "Codex Masudicus" de Al-Biruni (1037) se proporcionó una forma más precisa de estimar la circunferencia de la Tierra. A diferencia de sus predecesores, que midieron la circunferencia de la Tierra observando el Sol simultáneamente desde dos ubicaciones, al-Biruni desarrolló un nuevo método para usar los cálculos trigonométricos, basándose en el ángulo entre un vértice situado en la cumbre de una montaña aislada y la llanura situada a su alrededor, lo que hizo posible que una sola persona desde un único lugar obtuviese el resultado buscado.^[16]​ Desde la cima de la montaña, avistó el horizonte y midió el ángulo resultante, que junto con la altura de la montaña (determinada de antemano), le permitió aplicar la fórmula del teorema del seno. Este fue el primer uso conocido del ángulo de inclinación y el primer uso práctico de la ley de los senos.^[17]​ Sin embargo, el método no podía proporcionar resultados más precisos que los métodos anteriores, debido a limitaciones técnicas, por lo que al-Biruni aceptó el valor calculado en el siglo anterior por la expedición de al-Mamún.^[16]​

El error de Colón

1.700 años después de la muerte de Eratóstenes, Cristóbal Colón estudió lo que el propio Eratóstenes había escrito sobre el tamaño de la Tierra. Sin embargo, basándose en un mapa de Paolo dal Pozzo Toscanelli, optó por creer que la circunferencia de la Tierra era un 25% más pequeña. Si, en cambio, Colón hubiera aceptado el mayor valor de Eratóstenes, habría sabido que el lugar donde tocó tierra no era Asia, sino un Nuevo Mundo.^[18]​

Uso histórico en la definición de unidades de medida

Artículo principal: Historia del metro (unidad de medida)

Véanse también: Arco de meridiano, Radio terrestre y Medición del arco de meridiano de Delambre y Méchain.

En 1617, el científico holandés Willebrord Snel van Royen evaluó la circunferencia de la Tierra en 24.630 millas romanas (24.024 millas terrestres o 38 662,8 km). Por esa época, el matemático británico Edmund Gunter mejoró las herramientas de navegación, incluido un nuevo cuadrante para determinar la latitud en el mar. Razonó que las líneas de latitud podrían usarse como base para una unidad de medida para las distancias y propuso la milla náutica como un minuto o un sexagésimo (1/60) de un grado de latitud. Así como un grado es 1/360 de un círculo, un minuto de arco es 1/21600 de un círculo, de modo que la circunferencia polar de la Tierra sería exactamente 21,600 millas. Gunter usó la circunferencia de Snellius para definir una milla náutica como 6080 pies, la longitud de un minuto de arco a 48 grados de latitud.^[19]​

En 1793, Francia definió el metro para que la circunferencia polar de la Tierra fuera de 40.000 kilómetros. Para medir esta distancia con precisión, la Academia de Ciencias de Francia encargó a Jean-Baptiste Joseph Delambre y a Pierre Méchain que realizaran una expedición (véase medición del arco de meridiano de Delambre y Méchain) para intentar medir con precisión la distancia entre un campanario en Dunkerque y el castillo de Montjuic en Barcelona, con el fin de estimar la longitud del arco de meridiano a través de Dunkerque. La longitud del primer prototipo de la barra del metro se basó en estas medidas, pero más tarde se determinó que su longitud era corta en unos 0,2 milímetros debido a un error de cálculo del achatamiento de la Tierra, lo que hacía que el prototipo fuera un 0,02 % más corto que la definición original propuesta del metro. Independientemente, esta longitud se convirtió en el estándar francés y fue adoptada progresivamente por otros países de Europa.^[20]​ Esta es la razón por la cual la circunferencia polar de la Tierra es en realidad de 40.008 kilómetros, en lugar de 40.000 km.

Matemáticas

Usando una regla de tres, Eratóstenes pudo obtener el valor de la circunferencia de la Tierra:

Si 7,2° eran equivalentes a 5000 estadios, ¿a cuántos estadios equivaldrían 360°?

Cálculo de Eratóstenes

7,2° (ángulo generado)	=	5000 estadios (distancia Syene-Alejandría)
360° (circunferencia completa)	=	x

De este modo, la resolución de está operación dio un resultado de 252 000 estadios equivalentes a 40 000 km.

Véase también

• Historia de la geodesia

Referencias

1. Ventana al, Conocimiento (31 de mayo de 2018). «Eratóstenes: Midiendo lo imposible». OpenMind. Consultado el 24 de abril de 2021. 
2. «medir la circunferencia de la tierra». redescolar.ilce.edu.mx. Consultado el 22 de abril de 2021. 
3. «Arquímedes de Siracusa». paginas.matem.unam.mx. Consultado el 22 de abril de 2021. 
4. Martínez, Ines. «Circunferencia terrestre – Radio CEPOAT: El canal de la Historia». Consultado el 23 de abril de 2021. 
5. Russo, Lucio (2004). The Forgotten Revolution. Berlin: Springer. p. 273–277. 
6. Cleomedes, Caelestia, i.7.49-52.
7. Martianus Capella, De nuptiis Philologiae et Mercurii, VI.598.
8. Rawlins, Dennis (1983). «The Erathostenes-Strabo Nile Map. Is It the Earliest Surviving Instance of Spherical Cartography? Did It Supply the 5000 Stades Arc for Erathostenes' Experiment?». Archive for History of Exact Sciences 26 (26): 211-219. doi:10.1007/BF00348500. 
9. Pliny, Naturalis Historia, XII $53.
10. Posidonius, fragment 202
11. Cleomedes (in Fragment 202) afirmó que si la la distancia empleada es distinta, el resultado será diferente, y usando 3.750 en lugar de 5.000 se obtiene esta otra estimación: 3.750 x 48= 180.000; véase Fischer I., (1975), Another Look at Eratosthenes' and Posidonius' Determinations of the Earth's Circumference, Ql. J. of the Royal Astron. Soc., Vol. 16, p.152.
12. John Freely, Before Galileo: The Birth of Modern Science in Medieval Europe (2012)
13. Kak, Subhash (2010). «Aryabhata's Mathematics». arXiv:1002.3409  [cs.CR]. 
14. «Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland». 1907. 
15. «The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930». 
16. Mercier, Raymond (1992). «Geodesy». En Harley, J.B.; Woodward, David, eds. The History of Cartography, Volume 2, Book 1. The University of Chicago Press. pp. 175-188. ISBN 9780226316352. 
17. Behnaz Savizi (2007), «Applicable Problems in History of Mathematics: Practical Examples for the Classroom», Teaching Mathematics and Its Applications (Oxford University Press) 26 (1): 45-50, doi:10.1093/teamat/hrl009 .
18. Gow, Mary. Measuring the Earth: Eratosthenes and His Celestial Geometry, p. 6 (Berkeley Heights, NJ: Enslow, 2010).
19. Marine Insight, Why Nautical Mile and Knot Are The Units Used at Sea?
20. Alder, Ken (October 2003). The Measure of All Things: The Seven-Year Odyssey and Hidden Error That Transformed the World. Simon and Schuster. ISBN 978-0-7432-1676-0.