Geometría discreta

Una colección de círculos y el correspondiente grafo de disco unitario

La geometría discreta y la geometría combinatoria son ramas de la geometría que estudian las propiedades combinatorias de objetos geométricos discretos. La mayoría de las preguntas en geometría discreta implican conjuntos finitos o discretos de objetos geométricos básicos, tales como puntos, líneas, planos, círculos, esferas, polígonos, y así sucesivamente. La geometría discreta se enfoca en las propiedades combinatorias de estos objetos, por ejemplo: cómo se intersecan uno al otro, o cómo pueden ser arreglados para cubrir un objeto más grande.

La geometría discreta tiene grandes áreas en común con la geometría convexa y la geometría computacional, y está estrechamente vinculada a temas tales como geometría finita, optimización combinatoria, geometría digital, geometría diferencial discreta, teoría geométrica de grafos, geometría tórica, y topología combinatoria.

Historia

Aunque los poliedros y las teselaciones hayan sido estudiados durante muchos años por gente tal como Kepler y Cauchy, la geometría discreta moderna tiene sus orígenes a finales del siglo XIX. Los primeros asuntos estudiados fueron: la densidad del empaquetamiento de círculos de Thue, las configuraciones proyectivas por Reye y Steinitz, la geometría de números de Minkowski, y el coloreado de mapas por Tait, Heawood, y Hadwiger.

Tópicos en geometría discreta

• Poliedros y politopos
  • Combinatoria poliédrica
  • Politopo de reticulado convexo
  • Polinomio de Ehrhart
  • Teorema de Pick
  • Conjetura de Hirsch
• Empaquetamiento, recubrimiento y teselación
  • Empaquetamiento de círculos
  • Empaquetamiento de esferas
  • Conjetura de Kepler
  • Cuasicristal
  • Teselado aperiódico
• Rigidez estructural y flexibilidad
  • Teorema de Cauchy
  • Poliedro flexible
• Estructuras de incidencia
  • Configuración
  • Arreglo de líneas
  • Arreglos de hiperplanos
  • Building (matemática)???
• Matroides orientados
• Teoría de grafo geométrico
  • Trazado de grafos
  • Grafo poliédrico
  • Polígonos de Thiessen
  • Triangulación de Delaunay
• Complejo simplicial
• Combinatoria topológica
  • Lema de Sperner
  • Mapa regular
• Retículo y grupos discretos
  • Grupo de reflexión
  • Grupo de triángulo???
• Geometría digital
• Geometría diferencial discreta
• Particionado de conjuntos geométricos y transversales

Referencias

• Bezdek, András; Kuperberg, W. (2003). Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0968-3. 
• Brass, Peter; BraB, Peter (2005). Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-23815-8. 
• Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-301-4. 
• Gruber, Peter M. (2007). Convex and Discrete Geometry. Berlin: Springer. ISBN 3-540-71132-5. 
• Matoušek, Jiří (2002). Lectures on discrete geometry. Berlin: Springer. ISBN 0-387-95374-4. 

Véase también

• Matemática discreta
• Paul Erdős