Hipotrocoide

Una hipotrocoide, en geometría, es la curva plana que describe un punto vinculado a una circunferencia generatriz que rueda dentro de una circunferencia directriz, tangencialmente, sin deslizamiento.

La palabra se compone de las raíces griegas hipo hupo (abajo) y trokos (rueda).

Estas curvas fueron estudiadas por Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 y Bernoulli en 1725.

Ecuaciones

Siendo ${\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}}$ (donde ${\displaystyle q>1}$) y ${\displaystyle d=kb}$, con circunferencia directriz de radio a, y circunferencia generatriz de radio a, y la distancia al centro de la generatriz d, la ecuación de la hipotrocoide es:

${\displaystyle z=a=x}$ pero x no es igual a A

donde:

${\displaystyle qz=a[(q-1)e^{it}+ke^{-i(q-1)t}]\,}$

${\displaystyle q(x+iy)=a(q-1)\cos(t)+ia(q-1)\sin(t)+ak\cos[(q-1)t]-iak\sin[(q-1)t]}$

Por identificación de las partes reales e imaginarias se obtiene:

${\displaystyle qx=a(q-1)\cos(t)+ka\cos[(q-1)t)];\,}$

${\displaystyle qy=a(q-1)\sin(t)-ka\sin[(q-1)t)];\,}$

donde:

${\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}}$ y ${\displaystyle k={\dfrac {d}{b}}\,}$.

Sabiendo que ${\displaystyle a=R}$, ${\displaystyle b=r}$ y ${\displaystyle t=\theta }$, obtenemos las ecuaciones siguientes:

${\displaystyle x=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)}$

${\displaystyle y=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)}$

el ángulo ${\displaystyle \theta }$ varía de 0 a 2π.

Las elipses son casos particulares de hipotrocoide, donde ${\displaystyle R=2r}$.

Las hipocicloides son casos particulares, donde ${\displaystyle d=r}$ (el punto fijo de la generatriz)

Hipotrocoide alargada (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 3, r = 1, d = 1,5).

Hipotrocoide acortada (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 3, r = 1, d = 0,5.

Aplicaciones

• Los espirografos (son juguetes para dibujar) crean hipotrocoides.
• Las hipotrocoides definen el soporte de los autovalores de matrices aleatorias con correlaciones cíclicas.^[1]​

Curvas cíclicas

Curva cíclica

La directriz es una recta
d = r	d < r	d > r
cicloide	trocoide
cicloide normal	cicloide acortada	cicloide alargada

La directriz es una circunferencia
	d = r	d < r	d > r
La generatriz es exterior a al directriz	epicicloide	epitrocoide
	epicicloide normal	epicicloide acortada	epicicloide alargada
La generatriz es interior a al directriz	hipocicloide	hipotrocoide
	hipocicloide normal	hipocicloide acortada	hipocicloide alargada
La directriz es interior a al generatriz	pericicloide	peritrocoide
	pericicloide normal	pericicloide acortada	pericicloide alargada

Véase también

• Epitrocoide
• Hipocicloide

Referencias

1. Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning (16 de julio de 2019). «Universal hypotrochoidic law for random matrices with cyclic correlations». Physical Review E 100 (1): 010302. doi:10.1103/PhysRevE.100.010302. Consultado el 4 de octubre de 2020. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Hipotrocoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Ferréol, Robert; Mandonnet, Jacques. «Hipotrocoide». Encyclopédie des formes mathématiques remarquables (en francés).
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Hypotrochoid» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Hypotrochoid/ .