Lemme de Poincaré — Toute forme différentielle fermée est localement exacte.
Plus précisément, pour toute forme fermée définie sur un ouvertU de M contenant x, il existe un voisinage de x contenu dans U sur lequel la restriction de la forme est exacte.
En effet, si M ⊂ ℝn est un ouvert étoilé, ou un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, un calcul montre que toute forme fermée est exacte. Maintenant si M est quelconque, tout point admet un voisinage difféomorphe à une boule et on est ramené au cas précédent.
c'est-à-dire l'espace des p-formes fermées modulo le sous-espace des p-formes exactes.
Hp(M) = 0 si p < 0 ou si p est strictement supérieur à la dimension de M.
Si M est compacte, chaque Hp(M) est de dimension finie[3].
La dimension de Hp(M) s'appelle le p-ième nombre de Betti (réel), noté bp(M).
Toute application différentiablef : M → N entre deux variétés induit un morphisme d'algèbres différentielles graduées Ω(f) : Ω*(N) → Ω*(M) donc un morphisme d'algèbres graduées f* : H*(N) → H*(M). On vérifie facilement que H* est un foncteur (contravariant).
Si deux applications différentiables f, g : M → N sont homotopes, elles le sont différentiablement[4]. On parvient alors à construire[5],[6],[7] un opérateur L : Ω(N) → Ω(M) de degré –1 tel que Ω(g) – Ω(f) = d∘L + L∘d, ce qui prouve que g* = f*.
Toute application continue de M dans N est homotope à une application différentiable[8],[9]. Elle détermine donc encore un morphisme de H*(N) dans H*(M)[10].
Si M est une variété lisse compacte connexe et orientable de dimension n, alors Hn(M) est de dimension 1. Un isomorphisme explicite est donné par l'intégration des formes différentielles
de degré maximum : une orientation de M étant donnée, l'application
de dans R est nulle sur les formes exactes d'après le théorème de Stokes. Elle passe donc au quotient en une application de Hn(M) dans R, et l'on démontre[11] qu'on obtient ainsi un isomorphisme.
Si M n'est pas orientable ou n'est pas compacte (les autres hypothèses restant les mêmes), Hn(M) = 0.
Un élément de Hp(M) est une classe d'équivalence de formes différentielles de degré p,
qui n'admet pas a priori de représentant privilégié. La situation change si
M est munie d'une métrique riemannienneg.
On peut alors définir un opérateur de divergence
Si G est un groupe de Lie compact muni d'une métrique riemannienne bi-invariante, les formes harmoniques sont les formes différentielles bi-invariantes. En particulier, .
Soit S une surface de Riemann compacte. La donnée de la structure complexe équivaut à celle d'une classe de métriques riemanniennes conformes, et les formes harmoniques de degré 1 ne dépendent que de la structure conforme. Ce sont les parties réelles des formes différentielles holomorphes de degré 1. Ainsi où est le genre de S.
↑Henri Cartan, « Les travaux de Georges de Rham sur les variétés différentiables », dans Œuvres - Collected Works, vol. III, Springer, (ISBN978-3-54009189-9, lire en ligne), p. 1448-1458, « 1. Le théorème de De Rham ».
↑Godbillon, p. 164-165 (th. 2.5) : L = K∘Ω(H), où H : M×ℝ → N est une homotopie différentiable de f à g et K : Ωp(M×ℝ) → Ωp-1(M) est l'intégration de 0 à 1 le long des fibres de la projection M×ℝ → M.
↑(en) Ieke Moerdijk et Gonzalo E. Reyes, Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer, (lire en ligne), p. 168.