Entier surnaturel

Diagramme de Hasse du réseau des entiers surnaturels ; les nombres premiers autres que 2 et 3 ont été omis.

En mathématiques, les entiers surnaturels, parfois appelés entiers généralisés or nombres de Steinitz, sont une généralisation des entiers naturels, introduite par Ernst Steinitz^[1]:249-251 en 1910 dans le cadre de son travail sur la théorie des corps.

Définitions

Un entier surnaturel ${\displaystyle \omega }$ est un produit formel ${\displaystyle \omega =\prod _{p}p^{n_{p}},}$ où ${\displaystyle p}$ parcourt l'ensemble de tous les nombres premiers, et où chaque ${\displaystyle n_{p}}$ est un entier naturel (éventuellement 0) ou le symbole ${\displaystyle \infty }$. On note parfois ${\displaystyle v_{p}(\omega )}$ au lieu de ${\displaystyle n_{p}}$. Si ${\displaystyle n_{p}\neq \infty }$ pour tout ${\displaystyle p}$ et qu'il n'y a qu'un nombre fini de ${\displaystyle n_{p}}$ non nuls, on retrouve les entiers positifs usuels. Par définition (en accord avec les formules de calcul données ci-dessous), on pose ${\displaystyle 0=\prod _{p}p^{\infty }.}$

Il ne semble pas possible de définir une addition sur les nombres surnaturels, mais on peut les multiplier par la formule ${\displaystyle \prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}}$ (avec ${\displaystyle n_{p}+\infty =\infty }$). De même, la notion de divisibilité s'étend aux surnaturels en posant ${\displaystyle \omega _{1}\mid \omega _{2}}$ si ${\displaystyle v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})}$ pour tout ${\displaystyle p}$. On peut définir de même le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple en posant${\displaystyle \displaystyle \operatorname {ppcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}}$ et ${\displaystyle \displaystyle \operatorname {\rm {pgcd}} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\operatorname {inf} (v_{p}(\omega _{i}))}}$. Avec ces définitions, le pgcd ou le ppcm d'une famille infinie de supernaturels est encore un supernaturel. Enfin, la valuation ${\displaystyle p}$-adique se prolonge aux supernaturels en posant ${\displaystyle v_{p}(\omega )=n_{p}}$ .

Applications

Les nombres supernaturels permettent de définir des ordres et des indices pour les sous-groupes des groupes profinis, et de démontrer que beaucoup de théorèmes pour les groupes finis s'appliquent encore. Ils permettent également d'encoder les extensions algébriques des corps finis^[2]. Ils interviennent aussi dans la classification des algèbres uniformément hyperfinies (en).

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Supernatural numbers » (voir la liste des auteurs).

1. (de) Ernst Steinitz, « Algebraische Theorie der Körper », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137,‎ 1910, p. 167–309 (ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1910.137.167, JFM 41.0445.03, lire en ligne)
2. (en) Brawley & Schnibben (1989) pp.25-26

Voir aussi

Bibliographie

• Joel V. Brawley et George E. Schnibben, Infinite algebraic extensions of finite fields, vol. 95, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Contemporary Mathematics », 1989, 23–26 p. (ISBN 0-8218-5101-2, zbMATH 0674.12009)
• Ido Efrat, Valuations, orderings, and Milnor K-theory, vol. 124, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys and Monographs », 2006 (ISBN 0-8218-4041-X, zbMATH 1103.12002), p. 125
• Michael D. Fried et Moshe Jarden, Field arithmetic, vol. 11, Springer-Verlag, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge », 2008, 3rd éd. (ISBN 978-3-540-77269-9, zbMATH 1145.12001), p. 520

Articles connexes

• Entier profini

Liens externes

• (en) Planet Math: Supernatural number

• Arithmétique et théorie des nombres