La fougère de Barnsley est une fractale nommée d'après le mathématicien Michael Barnsley qui l'a décrite pour la première fois dans son livre Fractals Everywhere[1].
La fougère de Barnsley est l'attracteur d'une famille de quatre applications affines[2]. La formule pour une application affine est la suivante :
Dans le tableau, les colonnes "a" à "f" sont les coefficients de l'équation et "p" représente le facteur de probabilité.
w | a | b | c | d | e | f | p | Partie générée |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ƒ1 | 0 | 0 | 0 | 0.16 | 0 | 0 | 0.01 | Tige |
ƒ2 | 0.85 | 0.04 | −0.04 | 0.85 | 0 | 1.60 | 0.85 | Petites folioles |
ƒ3 | 0.20 | −0.26 | 0.23 | 0.22 | 0 | 1.60 | 0.07 | Grandes folioles de gauche |
ƒ4 | −0.15 | 0.28 | 0.26 | 0.24 | 0 | 0.44 | 0.07 | Grandes folioles de droite |
Celles-ci correspondent aux transformations suivantes :
Le premier point tracé est à l'origine (x0 = 0, y0 = 0) puis les nouveaux points sont calculés de manière itérative en appliquant de manière aléatoire l'une des quatre transformations de coordonnées suivantes :
ƒ1
Cette transformation de coordonnées est choisie 1% du temps et correspond à un point du premier segment de ligne situé à la base de la tige. Cette partie de la figure est la première à être complétée au cours des itérations
ƒ2
Cette transformation de coordonnées est choisie 85% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon.
ƒ3
Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à un point à l'intérieur d'un pavillon (avec inversion).
ƒ4
Cette transformation de coordonnées est choisie 7% du temps et correspond à point à l'intérieur d'un pavillon (sans inversion).
En variant les coefficients, on peut créer des variétés mutantes de fougère, que Barnsley qualifie de superfractales[3].
Un générateur de fougères de Barnsley a pu reproduire les fougères de type Cyclosorus (dans la famille des Thelypteridaceae) ainsi que Polypodiidae[4],[5].
Les coefficients pour reproduire la fougère Cyclosorus sont dans le tableau suivant.
w | a | b | c | d | e | f | p |
---|---|---|---|---|---|---|---|
ƒ1 | 0 | 0 | 0 | 0,25 | 0 | -0,4 | 0,02 |
ƒ2 | 0,95 | 0,005 | -0,005 | 0,93 | −0.002 | 0,5 | 0,84 |
ƒ3 | 0.035 | −0.2 | 0,16 | 0,04 | -0,09 | 0,02 | 0,07 |
ƒ4 | −0.04 | 0.2 | 0,16 | 0,04 | 0,083 | 0,12 | 0,07 |