Ondelette de Haar
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L'ondelette de Haar, ou fonction de Rademacher, est une ondelette créée par Alfréd Haar en 1909[1]. On considère que c'est la première ondelette connue. Il s'agit d'une fonction constante par morceaux, ce qui en fait l'ondelette la plus simple à comprendre et à implémenter. L'ondelette de Haar peut être généralisée par ce qu'on appelle le système de Haar.
Ondelette de Haar
[modifier | modifier le code]La fonction-mère des ondelettes de Haar est une fonction constante par morceaux :
La fonction d'échelle associée est alors une fonction porte :
Le système de Haar
[modifier | modifier le code]Le système de Haar est une suite de fonctions continues par morceaux, appartenant à pour . Il est défini de la manière suivante, à partir des fonctions indicatrices :
![{\displaystyle L^{p}([0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53d55ccc06ce5cc9ec3bede2be3e7933c206ee3)
![{\displaystyle h_{1}(t)=1\!\!1_{[0;1]}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1280f242515792132b7bbab0f8a41104e5f8d4a)
- Pour et :
![{\displaystyle h_{2^{k}+l}(t)=1\!\!1_{\left[{\frac {2l-2}{2^{k+1}}};{\frac {2l-1}{2^{k+1}}}\right]}(t)-1\!\!1_{\left[{\frac {2l-1}{2^{k+1}}};{\frac {2l}{2^{k+1}}}\right]}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891350b83b9e782cecccac5398cab62e8cfe16cf)
Voici les représentations graphiques de h2 et de h3 :
Une des propriétés intéressantes du système de Haar est qu'il est une base de Schauder de pour .
Références
[modifier | modifier le code]- (en) « Wavelets: seeing the Forest - and the Trees », sur www.beyonddiscovery.org (consulté le )
