מספר אור

במתמטיקה, מספר מחלק-הרמוני, או מספר אור (Ore), ולעיתים אף מספר אור-הרמוני, על-שם המתמטיקאי הנורווגי אייסטיין אור (Øystein Ore) שהגדיר את המספרים הללו בשנת 1948, הוא מספר טבעי חיובי שהממוצע ההרמוני של המחלקים שלו הוא מספר שלם. הראשונים מבין מספרי אור הם: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190.

לדוגמה, 6 הוא מספר אור, משום שיש לו ארבעה מחלקים, 1, 2, 3, ו-6 עצמו, שהממוצע ההרמוני שלהם הוא מספר שלם:

${\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2}$

ל-140 יש שנים-עשר מחלקים והם 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, ו-140 עצמו. הממוצע ההרמוני שלהם הוא:

${\displaystyle {\frac {12}{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5}$

גם כאן התוצאה היא מספר שלם, ולכן גם 140 הוא מספר אור.

מספרי אור ומספרים מושלמים

אור הבחין שלכל מספר שלם כלשהו ${\displaystyle M}$, מכפלת הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני של מחלקיו שווה ל-${\displaystyle M}$ עצמו.^[1] מכאן נובע ש-${\displaystyle M}$ הוא מספר אור-הרמוני אם ורק אם הממוצע (החשבוני) של מחלקיו מחלק את ${\displaystyle M}$.

אור הראה שכל מספר מושלם הוא גם אור-הרמוני. כדי להיווכח בכך, נשים לב שסכום כל המחלקים של מספר מושלם ${\displaystyle M}$ הוא בדיוק ${\displaystyle 2M}$. לכן, הממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא ${\displaystyle 2M \over d(M)}$, כאשר ${\displaystyle d(M)}$‎ הוא מספר המחלקים של ${\displaystyle M}$. לכל ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle d(M)}$ הוא מספר אי-זוגי אם ורק אם ${\displaystyle M}$ הוא מספר ריבועי, מכיוון שאחרת ניתן לזווג לכל מחלק ${\displaystyle m}$ של ${\displaystyle M}$, מחלק שונה ממנו - ${\displaystyle M \over m}$. אך מספר מושלם אינו יכול להיות מספר ריבועי. הדבר נובע מהצורה הידועה של מספרים מושלמים זוגיים ומהעובדה שלמספרים מושלמים אי-זוגיים (אם הם קיימים) חייב להיות גורם מהצורה ${\displaystyle q^{\alpha }}$, כאשר ${\displaystyle \alpha \equiv 1{\pmod {4}}}$. לכן, עבור מספר מושלם כלשהו ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle d(M)}$ הוא זוגי והממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא ${\displaystyle {\frac {2M}{d(M)}}}$. לכן, ${\displaystyle M}$ הוא מספר אור-הרמוני.

אור שִׁיער ש-1 הוא המספר האי-זוגי היחיד שהוא גם אור-הרמוני. אם ההשערה נכונה, פירוש הדבר הוא שלא קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.

חסמים וחיפושים באמצעות מחשב

W. H. Mills הראה שלכל מספר אור אי-זוגי הגדול מ-1 חייב להיות גורם ראשוני שחזקתו גדולה מ-10⁷,^[2] ו-Graeme L. Cohen הראה שלכל מספר כזה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים.

Cohen,‏ Takeshi Goto ואחרים, כולל אור עצמו, החלו להשתמש במחשבים כדי לחפש מספרי אור קטנים. תוצאות החיפושים הללו הם רשימות של כל מספרי אור עד לבערך 2×10⁹, ושל כל מספרי אור שהממוצע ההרמוני של מחלקיהם הוא 300 לכל-היותר.

תכונות

• אם ${\displaystyle M}$ הוא מספר אור-הרמוני שאינו מתחלק בשום מספר ריבועי, אז ${\displaystyle M=1}$ או ${\displaystyle M=6}$.^[3]
• אם ${\displaystyle M}$ הוא מספר שקול ל-3‎ (mod 4)‎, אז ${\displaystyle M}$ הוא לא אור-הרמוני.^[4]
• אם ${\displaystyle M}$ הוא מספר אור-הרמוני וגם מכפלה של שתי חזקות של מספרים ראשוניים, אז ${\displaystyle M}$ הוא מספר מושלם זוגי.^[5]

ראו גם

• שבר יסודי

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: מספר אור

• מספר אור, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת מספרי אור באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים

• Goto, Takeshi. (Ore's) Harmonic Numbers. Retrieved on 2006-09-10
• Cohen, Graeme L. (1997). "Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean". Mathematics of Computation 66: 883–891

הערות שוליים

1. אם ${\displaystyle d}$ הוא מספר המחלקים והסכום עובר על כל המחלקים ${\displaystyle m}$ של ${\displaystyle M}$, אז ${\displaystyle {\frac {d}{\sum {\frac {1}{m}}}}\cdot {\frac {\sum m}{d}}=\sum m\cdot {\frac {M}{\sum {\frac {M}{m}}}}=\sum m\cdot {\frac {M}{\sum m}}=M}$
2. אך לא פרסם. Muskat, Joseph B. (1966). "On Divisors of Odd Perfect Numbers". Mathematics of Computation 20 (93): 141–144. doi:10.2307/2004277
3. Ore, Øystein (1948). "On the averages of the divisors of a number". American Mathematical Monthly 55: 615–619
4. M. Garcia, "On numbers with integral harmonic mean". American Mathematical Monthly 61 (1954), 89-96
5. C. Pomerance, Abstract 709-A5, Notices American Mathematical Monthly 20 (1913) A-648.