מיקשה וייס נולד במשפחה יהודית כילד שביעי של סוחר הבקר הרמן וייס ושל רגינה גרוס. אביו שלח ללמוד את הילד המוכשר וחריף השכל, שבלט בכישרונו כנואם כבר בחוג הקריאה של יום ראשון של בית הספר חטיבת ביניים. אף על פי שהנער המתבגר היה מוקסם יותר מהשירים מאשר המספרים, הוא נסע עד מהרה לקושיצה ומשם לבודפשט, לבית ספר תיכון למסחר. לאחר סיום לימודיו עבד כמנהל חשבונות ולאחר מכן בחברת ביטוח. לבסוף, בעידוד מורה שלו, הוא פנה לבית הספר למשחק בבודפשט ומיד נמנה עם עשרת התלמידים שנבחרו. בין 1910 לבין 1912, הוא היה סטודנט באקדמיה לדרמה (שמה היום האוניברסיטה לאמנויות התיאטרון והקולנוע). כבר כסטודנט העיתונים שיבחו אותו, כבעל מראה בר מזל ועתיד מזהיר. ינה ינוביץ', מנהל תיאטרון קלוז', הבחין בכישרון הצעיר בהופעת הבחינה של האקדמיה ופיתה אותו לעבור לטרנסילבניה (אז חלק מהונגריה) כך הפך לחבר בתיאטרון הלאומי של קלוז' בין 1912 לבין 1918, שם הופיע לראשונה ב-3 בספטמבר 1912, ב"הגברת עם הקמליות" של דיומא, בתור ארמנד, ושנה לאחר מכן שיחק בהצלחה את התפקיד ברומיאו ויוליה של שייקספיר.
במהלך כמעט חצי המאה של הקריירה שלו, הוא שיחק ביותר מ-120 סרטים, מתוכם 38 סרטים אילמים שנעשו בהונגריה. הוא היה שובר הלב הראשון של תעשיית הקולנוע ההונגרית. בין השנים 1913–1945 לא חלפה שנה אחת מבלי שהוא הסריט, אבל גם לאחר מכן הופיע בכמה סרטי קולנוע אמריקאים במשך כמה שנים. בשנות ה-50 הוא עבר לסדרות טלוויזיה. סרטו האחרון היה סרט המדע הבדיוני מ-1959, "צוללת אטומית", בו גילם מדען. במהלך הקריירה הארוכה שלו שיחק שוברי לב שובי לב, נבלים מתוחכמים, דמויות היסטוריות ידועות, אך בעיקר זרים מסתוריים.
הוא קיבל את תפקידו הקולנועי הראשון בסרט "מרטה" בשנת 1913 באולפן הקולנוע המפורסם בקלוז', שהיה גם ההופעה הקולנועית הראשונה של השחקנית המפורסמת שארי פדאק. באותה שנה, הוא שיחק את התפקיד הראשי הראשון שלו בסרט בשם "הקולט הצהוב", שהופק גם הוא בקלוז'. מאז ועד 1919 הופיע בשישה או שבעה סרטים בשנה, ולפעמים אפילו יותר. ב-1916 כינה העיתון בודפשטי הירלפ את וארקוני "שחקן הקולנוע ההונגרי הטוב ביותר", ואכן, במחצית השנייה של העשור השני של המאה ה-20, הוא היה אולי השחקן הצעיר והגבר הפופולרי ביותר בהונגריה. משנת 1915 שירת כקצין בצבא, למשל היה בחזית במזרחית הרוסית. במקרים כאלה הוא קיבל אישור לצאת לצילומים.
לאחר סיפוח קלוז' לרומניה, הפך לחבר בתיאטרון הלאומי בבודפשט בין אוקטובר 1918 ליוני 1920, אך הופיע באותה תקופה גם בתיאטרון מדאץ'. הוא גר במלון רויאל, מה שמוכיח שהוא בוודאי היה כוכב מרוויח מאוד. כשחברת הסרטים הגרמנית UFA הציעה לו חוזה, הוא ביקש ממנהל התיאטרון הלאומי חופשה של 6 חודשים, אך מכיוון שזו לא הוארכה, הוא נפרד מהתיאטרון ולא חזר לבמה והתמקד אך ורק על הקריירה הקולנועית שלו. הוא עבד בברלין בין השנים 1920–1921 ולזמן קצר ב-1930. ההצלחה הקולנועית הגרמנית הראשונה, שהוקרנה גם בבתי הקולנוע בהונגריה בקיץ 1921, הייתה הסרט ורה ויולטה – ששמו במקור Arme Violetta – סיפורה של מוכרת פרחים. בתפקידים הראשיים היו פולה נגרי ווארקוני. בעוד שהפקת סרטים כמעט הופסקה בהונגריה בתחילת שנות העשרים, הוא גם הופיע ב-10 סרטים בגרמניה במהלך הקריירה הקולנועית בת השנה שלו בברלין.
עם הופעת הסקטים המדברים, בניגוד לכוכבי ראינוע אחרים, הקריירה שלו לא נעצרה. בשל חסרונותיו הלשוניים, הוא שיחק רק זרים שדיברו אנגלית במבטא, רצוי זרים דוברי סלאבית או ספרדית. זה כבר היה התפקיד הראשי של סרט המדבר הראשון שלו, Thunder capitane, בו גילם שודד מקסיקני, והסרט הוקרן בבכורה בדצמבר 1930 בארצות הברית. עם זאת, מעניין שהוא לא גילם דמות ממוצא הונגרי בהוליווד, אך במקביל הופיע ב"הגמל השחור" (1931) לצד שחקן הונגרי מצליח אחר, בלה לוגוסי. בין השנים 1933–1934 עבד בלונדון. בינתיים, הוא ניסה את כוחו גם בכתיבת תסריטים, וכתב את חוויותיו במלחמת העולם הראשונה בסרט האנגלי מ-1934 Menace. וארקוני גילם בו מהנדס שאחראי על מטעני חבלה במהלך המלחמה. פצוע, משוחרר לאחר ניתוח מוח, הוא ממשיך כמעט בהיסח הדעת להפציץ אזרחים חפים מפשע עד שהוא מרגיש כמו עצמו על מעשיו הנוראים. הוא חזר לארצות הברית באמצע שנות ה-30, שם קיבל אזרחות אמריקאית ב-1940. בסרטו האנטי-נאצי של ג'ון פארו מ-1944 "כנופיית היטלר" (The Hitler Gang), הוא התבקש לגלם את "האדון" השני של הרייך השלישי הגרמני, את רודולף הס סגנו של היטלר באותה התקופה.
בשנות ה-50 היה עובד של רדיו ניו יורק, וגם חזר לבמה וקיבל תפקידים בבתי הקולנוע בברודוויי, עבד גם בהפקות טלוויזיה, ופרש מעשיית קולנוע בגיל 68. אף על פי שלא חזר להונגריה, הוא הודה בביוגרפיה שלו Not Enough To Be Hungarian שמעולם לא שכח את מוריו והמאסטרים ההונגרים שלו.
בשנת 1919, הוא התחתן עם השחקנית אנה ארניושי, שכונתה נוסי (1891–1949). הם חיו בנישואים למופת במשך 30 שנה, ובביתם ההוליוודי התקיימו חיי חברה נהדרים. ב-1949, לאחר מות אשתו, נישא בשנית. אשתו השנייה הייתה השחקנית לילי וארקוני עד מותה בגיל 85. הוא מת מהתקף לב בביתו בלוס אנג'לס ב-1976.