אביו של יגר, יעקב יגר, נולד בשנת 1902 בעיירה גליניאני שבגליציה המזרחית (אז פולין, כיום אוקראינה). למד בסמינר העברי למורים של לבוב והוסמך להיות מורה למקצועות יהדות. בשנת 1929 התחתן עם חוה לבית קליין. הזוג הצעיר נסע לבואנוס איירס, ושם נולד משה. יעקב יגר וגיסו משה קליין ועוד מורה עברי מקומי הקימו את בית הספר העברי הראשון ח"נ ביאליק בבואנוס איירס שקיים עד היום והתרחב מאז. בשנת 1935, עלתה המשפחה לארץ ישראל לזיכרון יעקב. בשנת 1941 עברה המשפחה לחיפה, שם למד משה יגר בבית הספר הריאלי. שירת בצה"ל בגדנ"ע ובנח"ל. אחר-כך, למד לימודי האסלאם, מדע המדינה והיסטוריה כללית באוניברסיטה העברית בירושלים וקיבל תואר דוקטור בתולדות עמי האסלאם בדרום מזרח אסיה.
במאי 1956, הצטרף יגר למשרד החוץ בתור מתמחה (צוער) במחזור השלישי להכשרת דיפלומטים[1]. הוא החל את שירותו הדיפלומטי ברומניה, לאחר מכן הועבר לבורמה (לימים: מיאנמר). ב-1965 שהה במאלזיה לשם נשלח להקים משרד כלכלי-מסחרי שהיה כיסוי לנוכחות דיפלומטית ישראלית ראשונה (ואחרונה) במדינה מוסלמית זו. המשרד נסגר בראשית 1966. משם עבר כקונסול ישראל בלוס אנג'לס (1966–1969), קונסול כללי בפילדלפיה (1969–1972), קונסול כללי בניו יורק (1985–1988), שגריר ישראל סטוקהולם בשוודיה (1988–1990) ושגריר בפראג בצ'כיה (1994–1995). בין שליחות אחת לשנייה בחוץ-לארץ מילא תפקידים בכירים בארץ, בהם מנהל מחלקת ההסברה במשרד החוץ (1975–1978), סמנכ"ל אגף מידע ותקשורת (1980–1985), וסגן מנהל כללי לענייני אסיה, אפריקה ואוקיאניה (1990–1993). באחד נובמבר 1995 פרש יגר לגמלאות.
במשך תשע השנים הבאות, יגר לימד באוניברסיטה העברית בירושלים את תולדות דרום-מזרח אסיה כמרצה מן החוץ. כן, היה עמית מחקר במכון טרומן.
ב-2020 זכה בפרס מולדובן לספרות צבאית חדשה לשנת 2019 על ספריו: גיון הנרי פטרסון הגדודים העבריים והציונות, ריצ'רד מיינרצהאגן והציונות, הספר אורד וינגייט קורותיו והציונות.
יגר כתב ארבעה-עשר ספרים עיוניים בעברית וארבעה ספרים באנגלית, ספרים משלו תורגמו לאנגלית, בנגלית, בורמנית, צ'כית וערבית. כמו כן, כתב עשרות מאמרים עיוניים ובנושאי אקטואליה בכתבי-עת שונים בישראל ובחו"ל.
במקביל לפעילותו הדיפלומטית ולימודיו האקדמיים, יגר עסק בכתיבה בתחומים הבאים:
פרשיות היסטוריות ואישים בתולדות הציונות ותולדות היישוב.
תולדות משרד החוץ, החל מהמחלקה המדינית של הסוכנות היהודית לפני קום מדינת ישראל ועד מלחמת ששת הימים, 1967; דמותו ותפקידיו של הדיפלומט הישראלי; עבודת ההסברה בחוץ-לארץ.
יחסי החוץ של ישראל עם מדינות המזרח-הרחוק ובמיוחד עם הודו, סין, מאלזיה, סינגפור, בורמה ויפן; וכן, עם שוודיה וצ'כוסלובקיה בהן שירת יגר כשגריר.
Moshe Yegar, The Muslims of Burma : a study of a minority group, Wiesbaden : O. Harrassowitz, 1972 (מוסלמי בורמה, הוצאת הספרים אוטו הרסוביץ ויסבאדן, אוניברסיטת היידברג, 1972 (במקור באנגלית; תורגם לבורמזית (2002), ולבנגלית (2022)))
Islam and Islamic institutions in British Malaya: policies and implementation, Jerusalem: The Magnes Press, The Hebrew University, 1979
הציונות האינטגרלית: עיון במשנתו של אברהם שרון (שבדרון), תל אביב: הדר, 1983
לתולדותיה של מערכת הסברת החוץ של ישראל, הרצליה: להב, 1986
מדיניות ניטרלית - הלכה למעשה: תולדות היחסים הדיפלומטיים בין שוודיה לישראל, ירושלים: מכון דיוויס - המכון ליחסים בינלאומיים על-שם לאונרד דיוויס, האוניברסיטה העברית בירושלים, 1993
מאלזיה, ניסיונות הידברות עם מדינה מוסלמית, ירושלים: הוצאת ספרים ע"ש י"ל מאגנס, האוניברסיטה העברית, 1996
צ'כוסלובקיה, הציונות וישראל – גלגולי יחסים מורכבים, ירושלים: הוצאת הספריה הציונית על-יד ההסתדרות הציונית העולמית, 1997
מרידות המוסלמים בפיליפינים, בתאילנד ובבורמה-מיאנמר, הוצאת פוזנר ובניו בע"מ, 2000
משה יגר, יוסף גוברין, אריה עודד (ע), משרד החוץ: 50 השנים הראשונות, כרך א, ב, כתר הוצאה לאור, 2002
Between integration and secession : the Muslim communities of the southern Philippines, Southern Thailand, and western Burma/Myanmar, Lanham, Md : Lexington Books, 2002