Diszkrét geometria
A diszkrét geometria metrikus és kombinatorikus szempontból vizsgálja különböző geometriai objektumok tulajdonságait és konstrukcióját. A legtöbb diszkrét geometriai kérdés elemi objektumok véges, vagy diszkrét halmazával foglalkozik, így pontokkal, körökkel, egyenesekkel, síkokkal, gömbökkel, sokszögekkel, és így tovább. A vizsgálat tárgya lehet például az, hogy hogy metszik egymást, vagy miképp lehet őket elrendezni úgy, hogy minél nagyobb területet fedjenek le.
A diszkrét geometria a matematika nemcsak relatíve új ága, de problémái is szerteágazóak; ezért sem magának, sem alágainak nincs teljesen szilárd felosztása és besorolása, módszertanilag is sokrétű, inkább a feladatok megfogalmazása, mintsem a megoldásuk során alkalmazott eljárások diszkrétek, mely utóbbiak elvezethetnek akár a dimenzióelméleti, akár analitikus vagy topológiai (mindkét esetben: folytonos) matematika területére, de nem ritkán a számelmélethez, kombinatorikához (mint pl. a gráfelmélet) vagy akár a lineáris algebra, ill. a nemeuklideszi geometriák világába is.
A diszkrét geometriának sok átfedése van a konvex geometriával és a komputergeometriával, és közeli kapcsolatban áll a véges geometriával, a kombinatorikus optimalizációval, a rácselmélettel, a diszkrét differenciálgeometriával, a geometrikus gráfelmélettel, a kombinatorikus topológiával és a tórikus geometriával (ami nem a tórusz geometriáját jelenti). A kombinatorikus geometria a diszkrét geometria alágának tekinthető, amikor nem metrikus, hanem számossági problémákon van a hangsúly.
Habár a poliédereket és tesszellációkat már régóta tanulmányozzák, pl. Kepler és Cauchy, a modern diszkrét geometria kezdetei a 19. század végére tehetők. Az első témák: a minél sűrűbb körpakolás (Thue), projektív konfigurációk (Reye és Steinitz), a számok geometriája (Minkowski), és térképszínezések (Tait, Heawood és Hadwiger).
Híres témák
[szerkesztés]- Poliéderek és politópok
- Poliéderes kombinatorika
- Rácspolitópok
- Erhart-polinomok
- Pick-tétel
- Hirsch-sejtés
- Fedések, parkettázások és elhelyezések
- Körelhelyezések
- Gömbelhelyezések
- Kepler-sejtés
- Kvázikristályok
- Nem periodikus csempézés
- Periodikus gráfok
- Merevség és hajlékonyság
- Csuklós sokszögek
- Cauchy tétele
- Illeszkedési struktúrák
- Konfigurációk
- Egyenesek és hipersíkok elrendezései
- Irányított matroidok
- Geometrikus gráfelmélet
- Gráfok beágyazása
- Poliédergráfok
- Voronoj-diagramok és Delaunay-felosztások
- Szimpliciális komplexusok
- Topologikus kombinatorika
- Sperner-lemma
- Zárt felületek szimmetrikus felosztása
- Rácsok és diszkrét csoportok
- Tükrözéssel generált csoportok
- Háromszögcsoportok
- Digitális geometria
- Diszkrét differenciálgeometria
- Geometrikus halmazfelosztás és transzverzálisok
Források
[szerkesztés]- Bezdek András; Włodzimierz Kuperberg. Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker (2003). ISBN 0-8247-0968-3
- Bezdek Károly. Classical Topics in Discrete Geometry. New York, N.Y: Springer (2010). ISBN 978-1-4419-0599-4
- Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer (2005). ISBN 0-387-23815-8
- Goodman, Jacob E. O’Rourke, Joseph. Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC (2004). ISBN 1-58488-301-4
- Gruber, Peter M.. Convex and Discrete Geometry. Berlin: Springer (2007). ISBN 3-540-71132-5
- Matoušek, Jiří. Lectures on discrete geometry. Berlin: Springer (2002). ISBN 0-387-95374-4
- Vlagyimir Boltyanszkij, Horst Martini, Petru Soltan. Excursions into Combinatorial Geometry. Springer (1997). ISBN 3-540-61341-2
