Erősen bővelkedő számok

A számelméletben egy erősen bővelkedő szám olyan pozitív egész szám, aminek osztóinak összege nagyobb, mint bármely nála kisebb pozitív egész szám osztóinak összege.

Az erősen bővelkedő számokkal (és a természetes számok több hasonló csoportjával) elsőként S.S. Pillai foglalkozott 1943-ban.^[1] Alaoglu és Erdős összegyűjtötték 10⁴-ig az erősen bővelkedő számokat, és megmutatták, hogy az N számnál kisebb erősen bővelkedő számok száma log² N körül van.

Formális definíció és példák

Formálisan, n természetes szám akkor és csak akkor erősen bővelkedő, ha minden természetes szám m < n-re,

${\displaystyle \sigma (n)>\sigma (m)}$

ahol σ az osztóösszeg-függvényt jelöli. Az első néhány erősen bővelkedő szám a következő:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ... (A002093 sorozat az OEIS-ben).

Az 5 például nem erősen bővelkedő szám, mivel σ(5) = 5+1 = 6 kisebb, mint a σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, ellenben 8 erősen bővelkedő szám, mivel σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15, ami nagyobb az összes kisebb természetes számhoz tartozó σ értéknél.

Az erősen bővelkedő számok közül kizárólag az 1 és a 3 páratlan.^[2]

Más számhalmazokkal való kapcsolata

Bár az első nyolc faktoriális erősen bővelkedő, ez nem minden faktoriálisra igaz. Például

σ(9!) = σ(362880) = 1481040,

de létezik nála kisebb szám nagyobb osztóösszeggel,

σ(360360) = 1572480,

ezért 9! nem erősen bővelkedő szám.

Alaoglu és Erdős megfigyelte, hogy valamennyi szuperbővelkedő szám egyben erősen bővelkedő is, és feltették a kérdést, hogy vajon létezik-e végtelen sok erősen bővelkedő szám, ami nem szuperbővelkedő is egyben. A kérdést 1969-ben pozitívan döntötte el Jean-Louis Nicolas.^[3]

A megtévesztő név ellenére az erősen bővelkedő számok nem feltétlenül bővelkedő számok. Az első hét erősen bővelkedő szám közül egyik se bővelkedő.

7200 a legnagyobb hatványteljes szám, ami erősen bővelkedő is; a nála nagyobb erősen bővelkedő számok mind rendelkeznek olyan prímtényezővel, ami csak egyszer osztja őket. Ezért a 7200 egyben a legnagyobb erősen bővelkedő szám, aminek páratlan az osztóösszege.^[4]

Jegyzetek

1. Pillai, S. S. (1943). „Highly abundant numbers”. Bull. Calcutta Math. Soc. 35, 141–156. o. , továbbá viszonylag korán Alaoglu és Erdős dolgozott a témán (1944) „On highly composite and similar numbers”. Transactions of the American Mathematical Society 56 (3), 448–469. o. DOI:10.2307/1990319. JSTOR 1990319. 
2. Lásd Alaoglu–Erdős,1944, p. 466. Alaoglu és Erdős erősebb állítást tesznek, miszerint valamennyi 210-nél nagyobb erősen bővelkedő szám osztható 4-gyel, de ez nem igaz: a 630 erősen bővelkedő, de nem osztható 4-gyel. Valójában a 630 az egyetlen ellenpélda; az összes nála nagyobb erősen bővelkedő szám 12-vel is osztható.
3. Nicolas, Jean-Louis (1969). „Ordre maximal d'un élément du groupe S_n des permutations et "highly composite numbers"”. Bull. Soc. Math. France 97, 129–191. o. 
4. Alaoglu-Erdős (1944), pp. 464–466.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Highly abundant number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Erősen összetett számok