Fibrato vettoriale

Il nastro di Möbius ha una struttura di fibrato vettoriale su una circonferenza.

In matematica, un fibrato vettoriale è una costruzione che associa a ogni punto di una varietà topologica (o differenziabile) uno spazio vettoriale (generalmente reale o complesso). Si tratta quindi di un particolare fibrato, la cui fibra ha una struttura di spazio vettoriale.

Il fibrato tangente e il fibrato cotangente sono due esempi.

Definizione

Un fibrato vettoriale reale è un fibrato che ha come fibra uno spazio vettoriale, cioè è una funzione continua suriettiva ${\displaystyle p\colon E\to B}$ fra spazi topologici tale che la controimmagine ${\displaystyle p^{-1}(x)}$ di ogni punto ${\displaystyle x\in B,}$ detta fibra sopra il punto ${\displaystyle x,}$ sia dotata di una struttura di spazio vettoriale reale. Si chiede inoltre che questa struttura vari in modo continuo al variare di ${\displaystyle x}$. Questa richiesta è formalizzata chiedendo che la proiezione sia localmente un prodotto. Più precisamente, per ogni punto ${\displaystyle x}$ dello spazio base ${\displaystyle B}$ esiste un intorno aperto ${\displaystyle U}$ del punto ${\displaystyle x}$ e un omeomorfismo:

${\displaystyle \phi \colon p^{-1}(U)\to U\times \mathbb {R} ^{k},}$

tale che:

${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}\circ \phi =p}$

dove ${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to U}$ è la proiezione sul primo fattore. Si richiede inoltre che l'omeomorfismo preservi le strutture di spazi vettoriali, e cioè che l'omeomorfismo:

${\displaystyle \phi |_{p^{-1}(x')}:p^{-1}(x')\to \lbrace x'\rbrace \times \mathbb {R} ^{k},}$

sia anche un isomorfismo di spazi vettoriali, per ogni punto ${\displaystyle {x'}}$ dell'aperto ${\displaystyle U.}$

Bibliografia

• M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
• G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di Geometria Differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
• (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993. URL consultato il 5 luglio 2013 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).

Voci correlate

• Fibra (matematica)
• Fibrato
• Fibrato tangente
• Spazio vettoriale
• Varietà differenziabile
• Varietà topologica

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Collegamenti esterni

• Luca Tomassini, fibrato vettoriale, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
• (EN) vector bundle, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Vector Bundle, su MathWorld, Wolfram Research.

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