Nacque all'inizio del XIX secolo a Bergamo, precisamente nella parrocchia di San Pancrazio, situata nella Città Alta, da Giuseppe e Caterina Balbi, appartenenti a una famiglia benestante. Questa condizione agiata lo portò a intraprendere gli studi presso scuole prestigiose, prima a Clusone, poi all'Accademia Carrara, posta nel capoluogo orobico, dove seguì corsi di pittura volti a migliorarne le innate capacità.
Qui venne seguito dal maestro Giuseppe Diotti ed ebbe come compagno di studi Giovanni Carnovali, detto il Piccio, con il quale instaurò un rapporto di amicizia e di reciproca stima. Nel corso del secondo anno di studi, nel 1818, vinse il concorso di disegno indetto dall'accademia stessa, a pari merito con l'amico Carnovali.
Nel 1820, al termine del suo ciclo di studi, si trasferì a Milano dove riuscì a distinguersi vincendo, l'anno successivo, un premio per disegno e figura indetto dall'Accademia di belle arti di Brera. Questi riconoscimenti lo indussero a cercare continui miglioramenti, tanto che al termine dell'anno decise di recarsi a Roma dove grazie alle generose sovvenzioni del padre ed accompagnato dal prestigio maturato dai premi precedentemente ricevuti, ebbe modo di frequentare lo studio del maestro Vincenzo Camuccini.
Il suo soggiorno romano venne aiutato anche dall'amicizia con il conterraneo Angelo Mai, cardinale presso la sede pontificia, che fu un influente protettore del giovane pittore, il quale lo ricambiò eseguendone un ritratto inviato a Schilpario, paese d'origine del prelato.
Nel 1825 Francesco Coghetti convolò a nozze con Giacinta Martinozzi, dal cui legame successivamente nacquero Cesare e Giuditta.
Nel frattempo cominciavano ad arrivare numerose le commesse, anche dalla sua terra natìa, che aumentarono notevolmente la sua fama. Una di queste opere, "Santa Aldeida in atto di ricevere la corona dell'immortalità" vinse anche una medaglia all'esposizione Nazionale di Firenze.
L'apice della sua produzione coincise con gli anni quaranta e cinquanta del XIX secolo, in cui visse periodi di intensissimo fervore artistico accompagnato da un numero sempre crescente di commissioni che giungevano da ogni parte d'Italia e d'Europa, tanto da garantirgli l'appellativo di "più distinto pittore vivente italiano".
Nel 1844 gli venne proposta la direzione dell'Accademia di pittura di Città del Messico, offerta declinata dal Coghetti.
Tuttavia, a partire dalla seconda metà del sesto decennio, la sua fama cominciò ad essere messa in discussione da alcuni lavori ritenuti non all'altezza delle sue capacità, tanto da ritrovarsi al centro di alcune polemiche sovente alimentate da invidia e da posizioni politiche differenti alla maggiore corrente di pensiero. Erano infatti i tempi in cui lo Stato Pontificio stava per essere annesso al Regno d'Italia, e il Coghetti ricopriva un ruolo di spicco nell'Accademia di San Luca, ritenuta la massima espressione del potere temporale del papa.
Numerose furono quindi le disdette di commissioni, accompagnate dalla sospensione dal ruolo di docente e presidente dell'accademia stessa nel 1873, nel frattempo diventata Accademia Regia.
Relegato ai margini della vita artistica della capitale italiana, morì nel 1875 a causa di un attacco apoplettico.
Il Coghetti si distinse fin dalle prime opere per il suo stile caratterizzato da un'elevata eloquenza classica, nonché da un virtuosismo nelle ambientazioni barocche, ma anche da una gestione armonica dei colori e da una rappresentazione naturale delle espressioni dei volti dipinti.
Numerose furono i ritratti eseguiti per l'aristocrazia del tempo, ma soprattutto i dipinti raffiguranti scene del vecchio e nuovo testamento.
Le sue principali opere, ordinate cronologicamente, furono:
"Storie di Gracco e dei Promessi Sposi" (1841), Palazzo Torlonia (Roma)
"Decorazione a bassorilievo" (1842), Casino di Castel Gandolfo (Roma)
"Ritratto di Giovanni Presti" (1843)
"Nozze di Amore e Psiche" (1844)
"Ascensione di Cristo" (1847), Duomo di Porto Maurizio (Imperia, realizzata nell'allora nuova chiesa di Porto Maurizio, dove l'artista fu chiamato anche per intervento del suo ex allievo Leonardo Massabò)
"La pittura lombarda del sec. XIX", di V. Bignami, (1900);
"L'Ottocento a Bergamo da Diotti a Scuri", di S. Milesi (1995)
"Pittori romantici lombardi", di C. Carrà, (1932);
"Il secondo '800 italiano" di R. Barilli, (1988).
Silvia Bottaro, "Il rinnovamento ottocentesco nelle arti savonesi legato a Francesco Coghetti", in "I bozzetti per gli affreschi della Cattedrale di Savona", "Monturbano" numero speciale 2006.
Amalia Pacia, Francesco Coghetti e la volta del duomo di Bergamo, Silvana Editoriale, 2019.