Assistente alle cattedre di algebra e geometria analitica presso l’Università di Pisa dal 1º novembre 1911 al 31 dicembre 1912, nel 1913 divenne insegnante di matematica presso l’istituto tecnico Galilei di Firenze, dove presterà servizio fino al 31 dicembre 1926.
Richiamato alle armi nel marzo del 1915, partecipò alla Grande Guerra come Ufficiale d’Artiglieria della 3ª Armata, prima sul fronte dell’Isonzo, poi su quello del Piave, venendo insignito della croce di guerra al merito nel 1919, ottenne il diploma di perfezionamento presso la Scuola Normale Superiore con il massimo dei voti nel 1916, quando era ancora sotto le armi.
Nel 1924 fu abilitato alla libera docenza in analisi algebrica e infinitesimale.
Titolare della cattedra di analisi algebrica presso l’Università degli Studi di Firenze prima come professore straordinario dal 1927 e poi come professore ordinario dal 1930, fu collocato fuori ruolo nel 1958 e infine collocato a riposo, per raggiunti limiti d’età, nel 1963. Nominato professore emerito nel 1964, tenne fino ai suoi ultimi giorni un corso universitario dedicato principalmente alla teoria dei numeri. Con l'aiuto di Edgardo Ciani fondò e organizzò nel 1927 l’Istituto di Matematica[3] dell'Università di Firenze, intitolato poi nel 1950 al suo maestro Ulisse Dini, e sempre presso l'Ateneo Fiorentino fu preside della Facoltà di Scienze dal 1957 al 1963[1].
Docente di matematica presso la Scuola Normale Superiore dal 1947 al 1949, nel 1957 ricoprì anche la carica di presidente dell'Associazione normalisti.
A Sansone si deve la nascita della scuola matematica fiorentina e la formazione di un’intera generazione di matematici, tra i quali si possono menzionare Roberto Conti, Enrico Magenes, Carlo Pucci e Giovanni Ricci.
Sansone può essere inoltre considerato il fondatore della Biblioteca di Matematica dell'Università di Firenze[3], a lui si deve infatti la minuziosa cura con la quale ha preso forma la parte storica della collezione, prima con l’acquisizione di libri appartenuti a Ulisse Dini, poi con un’oculata politica di acquisti e cambi, arricchitasi in seguito grazie a donazioni come quelle Landau-Finaly e Toja[4].
L’attività scientifica che Giovanni Sansone dispiegò nell’arco della sua intera esistenza può essere suddivisa in due filoni principali. Il primo, derivato dall’opera del suo maestro Luigi Bianchi, fu relativo a questioni di carattere aritmetico, algebrico e geometrico, il secondo fu ispirato dall’opera di Ulisse Dini, con il quale era venuto in contatto durante gli anni di studio alla Scuola Normale, e si incentrò su questioni relative alle proprietà di classi di funzioni speciali e alle equazioni differenziali ordinarie, lineari e non lineari[5].
Nel corso della sua carriera Sansone pubblicò decine di lavori scientifici che contribuirono al progresso degli studi matematici in particolare nell’ambito dei gruppi discreti, della teoria dei numeri, della geometria differenziale delle superfici, delle funzioni speciali, delle equazioni differenziali lineari e delle equazioni differenziali non lineari.
Un altro notevole contributo di Sansone alla matematica è rappresentato dalla produzione di importanti trattati, tra i quali si possono ricordare l’opera in due volumi, Equazioni differenziali nel campo reale (1941) e Equazioni differenziali non lineari (1956), scritta in collaborazione con Roberto Conti. Con lo stesso Conti e con Rolf Reissig pubblicò inoltre Qualitative Theorie Nichtlinearer Differentialgleichungen (1963) e Nichtlineare Differentialgleichungen höherer Ordnung (1969) mentre frutto dell’intensa collaborazione che si stabilì con Nicholas Minorsky, a partire dalla fine degli Anni Cinquanta, fu il suo contributo alla stesura del trattato Investigation of Nonlinear Control Systems (1960-1963), dedicato alla Teoria dei controlli[5].
I numerosi incarichi istituzionali ricoperti nel corso della sua lunga carriera consentirono a Giovanni Sansone di apportare un notevole contributo allo sviluppo della comunità dei matematici italiani[1].
Sansone fu presidente del comitato nazionale per la matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche dal 1960 al 1968 e ricoprendo tale carica contribuì in maniera decisiva al sostegno e allo sviluppo delle attività matematiche, sia attraverso l’istituzione di borse di studio per l’Italia e per l’estero che con un vasto programma di professori visitatori, di seminari nazionali e internazionali.
Ininterrottamente membro della commissione scientifica dell’Unione matematica italiana dal 1949 al 1970, ne divenne presidente dal 1953 al 1958 e fu proprio sotto la sua presidenza e grazie al suo contributo che venne fondato il Centro internazionale matematico estivo nel 1954.
Condirettore dal 1938 e poi direttore dal 1962 fino alla morte della rivista Annali di Matematica Pura ed Applicata fu anche presidente della Mathesis dal 1937 al 1941 e del Groupement de mathématiciens d’expression latine dal 1959 al 1962, mentre dal 1945 al 1958 fu membro del Consiglio superiore della Pubblica Istruzione[5].
Nel 1978 il Comune di Firenze conferì a Sansone la cittadinanza onoraria[1] mentre l’Ateneo Fiorentino gli assegnò la laurea honoris causa in ingegneria, intitolandogli anche, dopo la morte, l'Istituto di Matematica Applicata ubicato presso la sede di ingegneria e dal 1980 la sala di lettura della Biblioteca di Matematica.
Il Comune di Sesto Fiorentino ha dedicato a Sansone una via ubicata all'interno del complesso didattico del Polo Scientifico, afferente all'Università di Firenze.
Il 21 gennaio 2010 Porto Empedocle, sua città natale, ha intitolato un piazzale a suo nome.
Secondo le sue volontà testamentarie, venne costituita la Fondazione Emma e Giovanni Sansone[6], con lo scopo di offrire ogni anno borse di studio in matematica per giovani laureati, sia italiani che stranieri, sulla base di concorso pubblico. La fondazione, con sede a Pisa presso la Scuola Normale Superiore, ricorda nel nome anche la figura della moglie di Sansone, Emma Galli, scomparsa nel 1974.
Alla sua morte la biblioteca[7] e le carte[8][9] di Sansone sono rimasti presso la sede di Matematica della Biblioteca di Scienze dell'Università di Firenze[10]. In particolare si conservano, oltre ad una consistente miscellanea (costituita da oltre 10.000 opuscoli ed estratti ordinati alfabeticamente per autore e presenti sia su catalogo cartaceo che sul catalogo delle Miscellanee), numerosi documenti, oggetto di una prima sistemazione nel 2011, svariati volumi a stampa a lui appartenuti e ora contenuti entro il fondo librario di Angiolo Procissi, tre buste di "Memorie e note" con 166 estratti, anche questi presenti nel catalogo Miscellanee[11].
«Considerato l'eccezionale contributo apportato con la sua attività al progresso scientifico e alla ricerca, che pone Giovanni Sansone e l'Università fiorentina a livello internazionale, costituendo il patrimonio acquisito per la sua opera una indubbia ricchezza culturale per la Città, dove egli lavora da oltre sessanta anni» — Firenze, — 24 maggio 1978
(EN) Orthogonal functions, New York ; London, Interscience, 1959.
(EN) Nicholas Minorsky, Investigation of Nonlinear Control Systems, con la collaborazione di Giovanni Sansone, Roberto Conti, Washington, Office of Naval Research, Dept. of the Navy, 1960-1963.
Sulle superficie con due famiglie di curve ortogonali deformabili in linee di livello, e sopra una proprietà caratteristica della superficie ad area minima, in Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, s. 1, vol. 46, Palermo, Circolo Matematico di Palermo, 1922, pp. 409-436.
Le relazioni fondamentali tra le operazioni generatrici del gruppo modulare finito con coefficienti interi del campo di Gauss, in Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, s. 1, vol. 49, n. 2, Palermo, Circolo Matematico di Palermo, 1925, pp. 225-242.
Sul 17° problema dell'analisi indeterminata di Eulero, in Rendiconti del Reale istituto lombardo di scienze e lettere, vol. 62, Milano, Hoepli, 1929, pp. 237-260.
Sulla convergenza delle serie di Legendre (PDF), in Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze, s. 2, vol. 4, n. 4, Pisa, Scuola Normale Superiore, 1935, pp. 307-326.
Sulla sommabilità di Cesaro delle serie di Laplace, in Atti della R. Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, s. 6, vol. 25, Roma, R. Accademia Nazionale dei Lincei, 1937, pp. 75-81.
Equazioni differenziali nel campo reale: comportamento asintotico delle soluzioni; punti singolari; souluzioni periodiche e valutazione del periodo, in Rendiconti di matematica e delle sue applicazioni, s. 5, vol. 10, Roma, Oderisi, 1951, pp. 265-289.
Sopra l'equazione differenziale del 2º ordine del Dini . Comportamento degli integrali per , in Annali di matematica pura ed applicata, s. 4, vol. 50, Bologna, Zanichelli, 1960, pp. 439-465.
(EN) The points with rational coordinates and in particular those with integer coordinates on the elliptic cubic , in Annali di matematica pura ed applicata, vol. 125, n. 4, Bologna, Zanichelli, 1980, pp. 1-11.
^abcde Giorgio Sestini, Giovanni Sansone : commemorazione tenuta nella seduta dell'8 novembre 1980, in Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, s. 8, vol. 69, n. 5, Roma, Accademia Nazionale dei Lincei, 1981, pp. 283-301.
^Fulvio Conti, I Fratelli e i Profani. La Massoneria nello spazio pubblico, Pacini ed. Pisa, 2020, p. 227.
^ab Giovanni Sansone, L’Istituto matematico "Ulisse Dini" di Firenze. Discorso inaugurale, 2 marzo 1963, Firenze, Il cenacolo, 1963.
^Angiolo Procissi, Una biblioteca dedicata a Toja, in La Fondiaria notizie, n. 5, 1983.
^abcRoberto Conti, Giovanni Sansone, in Bollettino della Unione Matematica Italiana, s. 5, vol. 18, sez. A, n. 1, Bologna, Zanichelli, 1981, pp. 151-172.
Giorgio Sestini, Giovanni Sansone : commemorazione tenuta nella seduta dell'8 novembre 1980, in Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, s. 8, vol. 69, n. 5, Roma, Accademia Nazionale dei Lincei, 1980, pp. 283-301. (con un elenco completo delle pubblicazioni scientifiche di Sansone)
Roberto Conti, Giovanni Sansone, in Bollettino della Unione Matematica Italiana, s. 5, vol. 18, sez. A, n. 1, Bologna, Zanichelli, 1981, pp. 151-172. (con un elenco completo delle pubblicazioni scientifiche di Sansone)
Angiolo Procissi, Una biblioteca dedicata a Toja, in La Fondiaria notizie, n. 5, 1983.