Numero multiperfetto

In matematica, il concetto di numero multiperfetto è la generalizzazione di quello di numero perfetto.

Dato un numero naturale ${\displaystyle k,}$ un numero ${\displaystyle n}$ è chiamato ${\displaystyle k}$-perfetto se e solo se la somma di tutti i divisori di ${\displaystyle n}$ (la funzione divisore ${\displaystyle \sigma (n)}$) è uguale a ${\displaystyle kn;}$ un numero è dunque perfetto se e solo se è 2-perfetto. Un numero che è ${\displaystyle k}$-perfetto per un qualche ${\displaystyle k}$ è chiamato genericamente numero multiperfetto. A luglio 2004 è noto che esistono numeri ${\displaystyle k}$-perfetti per ogni valore di ${\displaystyle k}$ fino a 11.

Può essere dimostrato che:

• Per un dato numero primo ${\displaystyle p,}$ se ${\displaystyle n}$ è ${\displaystyle p}$-perfetto e ${\displaystyle p}$ non divide ${\displaystyle n,}$ allora ${\displaystyle pn}$ è ${\displaystyle (p+1)}$-perfetto. Questo implica che se un intero ${\displaystyle n}$ è un numero 3-perfetto divisibile per 2 ma non per 4, allora ${\displaystyle n/2}$ è un numero perfetto dispari. Siccome si ritiene assai improbabile che esistano numeri perfetti dispari, risulta verosimile che i numeri 3-perfetti siano tutti multipli di 4.
• Se ${\displaystyle 3n}$ è ${\displaystyle 4k}$-perfetto e 3 non divide ${\displaystyle n,}$ allora ${\displaystyle n}$ è ${\displaystyle 3k}$-perfetto.

I più piccoli numeri k-perfetti noti

La seguente tabella mostra i più piccoli numeri ${\displaystyle k}$-perfetti per ${\displaystyle k\leq 7}$^[1]:

k	Numero k-perfetto più piccolo	Scoperto da
1	1	sconosciuto
2	6	sconosciuto
3	120	sconosciuto
4	30.240	René Descartes, 1638 circa
5	14.182.439.040	René Descartes, 1638 circa
6	154.345.556.085.770.649.600	R.D. Carmichael, 1907
7	141.310.897.947.438.348.259.849.402.738.485.523.264.343.544.818.565.120.000	T.E. Mason, 1911

Note

1. A007539

Collegamenti esterni

• (EN) The Multiply Perfect Numbers page, su wwwhomes.uni-bielefeld.de.
• (EN) The Prime Glossary: Multiply perfect numbers, su primes.utm.edu.