Delaney è arrivato per la prima volta all'attenzione del pubblico via Twitter, su cui ha iniziato a pubblicare post nel 2009.[6] Nel 2016, Delaney contava oltre 1,2 milioni di follower. Mentre altri comici erano titubanti nel condividere il loro materiale sui social media, Delaney è considerato uno dei primi a utilizzare i social media per pubblicare battute.[7] Delaney attribuisce allo scrittore e regista di commedie Graham Linehan la sua crescente popolarità dopo che Linehan ha iniziato a rispondere ai tweet di Delaney.[8]
Nel 2010 la rivista Paste ha nominato Delaney una delle dieci persone più divertenti su Twitter.[9] Nel maggio 2012 è diventato il primo comico a vincere il "Personniest Person on Twitter Award" ai The Comedy Awards ospitati da Comedy Central.[10]
Il suo libro Rob Delaney: Mother. Wife. Sister. Human. Warrior. Falcon. Yardstick. Turban. Cabbage. è stato pubblicato da Spiegel & Grau nel novembre 2013.[13][14]
Nel dicembre 2011 la Comedy Central ha annunciato che Delaney avrebbe girato un pilota per uno spettacolo di varietà, chiamato "@RobDelaney".[15] Tuttavia, la serie non è mai stata prodotta.
Invece, Delaney è passato a scrivere e recitare insieme a Sharon Horgan in Catastrophe,[16] che ha iniziato a essere trasmesso nel Regno Unito il 19 gennaio 2015 su Channel 4. Ha debuttato negli Stati Uniti su Amazon a giugno 2015. Ora ci sono tre stagioni su Amazon e lo spettacolo è stato rinnovato per un quarto.[17] La quarta stagione si conferma la finale della serie.[18] Channel 4 ha trasmesso l'episodio conclusivo il 12 febbraio 2019, mentre Amazon ha annunciato la data di uscita negli Stati Uniti il 15 marzo dello stesso anno.[19] La serie gli è valsa la sua unica nomination agli Emmy, per "Outstanding Comedy Writing"[20]
Da quando si è trasferito nel Regno Unito nel 2014, Delaney è apparso in diversi panel britannici, tra cui Have I Got News for You, Would I Lie to You?, 8 Out of 10 Cats Does Countdown, The Big Fat Quiz of the Year e Room 101. Nel film Deadpool 2, Delaney ha interpretato Peter, un uomo di mezza età, che non ha poteri e si unisce alla X-Force di Deadpool. Come parte della promozione del film, è stato lanciato un account Twitter a nome di Peter.[21] Nel 2024 tornerà a interpretare il personaggio nel sequel Deadpool 3 .[22]
Delaney è un americano di origine irlandese.[23] Delaney è sposato; lui e sua moglie, Leah Delaney, hanno quattro figli, uno dei quali è morto nel gennaio 2018.[24][25] Nel febbraio 2018, Delaney ha condiviso pubblicamente che il figlio Henry era morto, all'età di due anni e mezzo, il mese prima, dopo essergli stato diagnosticato un tumore al cervello nel 2016 e aver ricevuto un ampio trattamento.[26] Il quarto figlio della coppia è nato nell'agosto 2018.[27][28] Delaney e la sua famiglia vivono a Londra.[29]
Delaney ha condiviso pubblicamente la sua esperienza con la depressione e l'alcolismo.[30][31] Nel 2002, Delaney ebbe un blackout mentre guidava ed andò con la sua auto contro un edificio di proprietà del Dipartimento dell'Acqua e dell'Energia di Los Angeles. Nell'incidente, si è rotto il polso sinistro e il braccio destro e si è tagliato entrambe le ginocchia fino all'osso. Ciò spinse Delaney a smettere di bere.[32][33]
Nel giugno 2017, Delaney ha appoggiato il Partito Laburista alle elezioni generali del Regno Unito.[37] Nel novembre 2018 ha sostenuto una petizione organizzata dal gruppo della campagna laburista Momentum che invita i parlamentari laburisti a votare contro l'accordo di recesso dell'UE che era stato negoziato dal governo di Theresa May.[38]
Delaney è stato il primo presentatore del programma CBeebiesBed Time Stories a raccontare una storia con il linguaggio Makaton,[39] che usava per comunicare con il suo defunto figlio Henry.
Nel febbraio 2019 Delaney ha appoggiato il senatore Bernie Sanders nella sua seconda campagna presidenziale.[40]