∂

∂ (Unicode: U+2202) は、筆記体のdを様式化した記号で、主に数学記号として用いられる。

この記号は、 ${\frac {\partial z}{\partial x}}$ のようにして偏微分を表すのに用いられたり、鎖複体の境界や、複素多様体上の滑らかな微分形のドルボー演算子の共役など、様々な用途に用いられる。

歴史

この記号は、1770年にニコラ・ド・コンドルセが偏差分の記号として使用し、1786年にアドリアン＝マリ・ルジャンドルによって偏微分に採用された^[1]。

積分記号が長いsの特殊なタイプとして生まれた（1686年にライプニッツが印刷で初めて使用した）ように、この記号は d という文字の特殊な草書体を表している。ルジャンドルはこの記号の使用を止めたが、1841年にカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビによって再び取り上げられ^[2]、広く使用されるようになった^[3]。

名称

この記号は、様々な名称で呼ばれている。カーリーディー(curly d)、ラウンドディー(rounded d)、カーブディー(curved d)、ダバ(dabba)、ヤコビのデルタ(Jacobi's delta)^[3]、デル(del)^[4]（ただし、ナブラ(∇)もまたデル(del)と呼ばれる）、ディー(dee)^[5]、パーシャルディー(partial d)^[6]、ドー(doh)^[7] ^[8]、ダイ(die)^[9]などである。

LaTeXでは\partialで $\partial$ が出力される。

用途

偏微分での利用

→「偏微分」も参照

解析学では、偏微分を表す目的で利用する。

多変数関数に対する偏微分を考える場合、どの変数で微分するかを明らかにする必要がある。例えば2変数関数 f(x, y) に対して x で偏微分する場合、常微分を表す d の代わりに∂を用いて次のように表す。

{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y)

同様に y で偏微分した場合は ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ のように表す。

境界としての利用

→「境界 (位相空間論)」も参照

位相空間論では、境界を表す目的で使用する。

たとえばある位相空間の部分集合 $\ D$ の境界をラウンドディーを用いて示す場合は次のようになる。

\partial D

ヤコビ行列

→「ヤコビ行列」も参照

多変数ベクトル値関数の勾配ベクトルを縦に並べたものをヤコビ行列（やこびぎょうれつ、英: Jacobian matrix）または関数行列と呼び、∂記号を用いて次のように表す。

{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\partial (f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})}{\partial (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}}={\begin{pmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
∂	`U+2202`	`1-2-63`	`∂` `∂` `∂`	デル、ラウンドディー

脚注

^ Adrien-Marie Legendre, "Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations," Histoire de l'Academie Royale des Sciences (1786), pp. 7–37.
^ Carl Gustav Jacob Jacobi, "De determinantibus Functionalibus," Crelle's Journal 22 (1841), pp. 319–352.
^ ^a ^b "The 'curly d' was used in 1770 by Antoine-Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet (1743-1794) in 'Memoire sur les Equations aux différence partielles,' which was published in Histoire de L'Academie Royale des Sciences, pp. 151-178, Annee M. DCCLXXIII (1773). On page 152, Condorcet says:
Dans toute la suite de ce Memoire, dz & ∂z désigneront ou deux differences partielles de z, dont une par rapport a x, l'autre par rapport a y, ou bien dz sera une différentielle totale, & ∂z une difference partielle.
However, the 'curly d' was first used in the form ∂u/∂x by Adrien Marie Legendre in 1786 in his 'Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations,' Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXXVI (1786), pp. 7-37, Paris, M. DCCXXXVIII (1788). On footnote of page 8, it reads:
Pour éviter toute ambiguité, je représenterai par ∂u/∂x le coefficient de x dans la différence de u, & par du/dx la différence complète de u divisée par dx.
Legendre abandoned the symbol and it was re-introduced by Carl Gustav Jacob Jacobi in 1841. Jacobi used it extensively in his remarkable paper 'De determinantibus Functionalibus" Crelle’s Journal, Band 22, pp. 319-352, 1841 (pp. 393-438 of vol. 1 of the Collected Works).
Sed quia uncorum accumulatio et legenti et scribenti molestior fieri solet, praetuli characteristica d differentialia vulgaria, differentialia autem partialia characteristica ∂ denotare.
The 'curly d' symbol is sometimes called the 'rounded d' or 'curved d' or Jacobi’s delta. It corresponds to the cursive 'dey' (equivalent to our d) in the Cyrillic alphabet." Aldrich, John. “Earliest Uses of Symbols of Calculus”. 16 January 2014閲覧。
^ Bhardwaj, R.S. (2005), Mathematics for Economics & Business (2nd ed.), p. 6.4
^ Silverman, Richard A. (1989), Essential Calculus: With Applications, p. 216
^ Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2011), Mathematics for Economists: An Introductory Textbook, p. 271
^ Bowman, Elizabeth (2014), Video Lecture for University of Alabama in Huntsville
^ Karmalkar, S., Department of Electrical Engineering, IIT Madras (2008), (英語) Lecture-25-PN Junction(Contd) 2020年4月22日閲覧。
^ Christopher, Essex; Adams, Robert Alexander (2014). Calculus : a complete course (Eighth ed.). pp. 682. ISBN 9780321781079. OCLC 872345701

[1] Adrien-Marie Legendre, "Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations," Histoire de l'Academie Royale des Sciences (1786), pp. 7–37.

[2] Carl Gustav Jacob Jacobi, "De determinantibus Functionalibus," Crelle's Journal 22 (1841), pp. 319–352.

[Aldrich-3] "The 'curly d' was used in 1770 by Antoine-Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet (1743-1794) in 'Memoire sur les Equations aux différence partielles,' which was published in Histoire de L'Academie Royale des Sciences, pp. 151-178, Annee M. DCCLXXIII (1773). On page 152, Condorcet says:
Dans toute la suite de ce Memoire, dz & ∂z désigneront ou deux differences partielles de z, dont une par rapport a x, l'autre par rapport a y, ou bien dz sera une différentielle totale, & ∂z une difference partielle.
However, the 'curly d' was first used in the form ∂u/∂x by Adrien Marie Legendre in 1786 in his 'Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations,' Histoire de l'Academie Royale des Sciences, Annee M. DCCLXXXVI (1786), pp. 7-37, Paris, M. DCCXXXVIII (1788). On footnote of page 8, it reads:
Pour éviter toute ambiguité, je représenterai par ∂u/∂x le coefficient de x dans la différence de u, & par du/dx la différence complète de u divisée par dx.
Legendre abandoned the symbol and it was re-introduced by Carl Gustav Jacob Jacobi in 1841. Jacobi used it extensively in his remarkable paper 'De determinantibus Functionalibus" Crelle’s Journal, Band 22, pp. 319-352, 1841 (pp. 393-438 of vol. 1 of the Collected Works).
Sed quia uncorum accumulatio et legenti et scribenti molestior fieri solet, praetuli characteristica d differentialia vulgaria, differentialia autem partialia characteristica ∂ denotare.
The 'curly d' symbol is sometimes called the 'rounded d' or 'curved d' or Jacobi’s delta. It corresponds to the cursive 'dey' (equivalent to our d) in the Cyrillic alphabet." Aldrich, John. “Earliest Uses of Symbols of Calculus”. 16 January 2014閲覧。

[4] Bhardwaj, R.S. (2005), Mathematics for Economics & Business (2nd ed.), p. 6.4

[5] Silverman, Richard A. (1989), Essential Calculus: With Applications, p. 216

[6] Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2011), Mathematics for Economists: An Introductory Textbook, p. 271

[7] Bowman, Elizabeth (2014), Video Lecture for University of Alabama in Huntsville

[8] Karmalkar, S., Department of Electrical Engineering, IIT Madras (2008), (英語) Lecture-25-PN Junction(Contd) 2020年4月22日閲覧。

[9] Christopher, Essex; Adams, Robert Alexander (2014). Calculus : a complete course (Eighth ed.). pp. 682. ISBN 9780321781079. OCLC 872345701

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